Calcul stochastique

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Calcul stochastique appliqué à la finance
Romuald ELIE

Avril 2006

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Ces notes correspondent à un cours donné aux élèves de deuxième année de l’ENSAE. Elles ont pour but de présenter les bases mathématiques des méthodes de pricing et de couverture des produits dérivés. Après l’obtention de la définition mathématique de la notion d’arbitrage, nous étudions les modèles par arbre binomial à2 puis n périodes. Nous développons ensuite quelques outils de calcul stochastiques nécessaires à l’étude des modèles en temps continu et en particulier du modèle de Black-Scholes. Ces notes de cours sont accompagnées de TDs.

Nota: Ces notes de cours sont librement inspirées de différentes manuels, polycopiés, notes de cours ou ouvrages. Citons en particulier ceux de Francis Comets, Nicole ElKaroui, Monique Jeanblanc, Bernard Lapeyre, Damien Lamberton, Steven Shreeve... Je les en remercie.

Mea Culpa: Comme dans toute notes de cours, des erreurs encore nombreuses restent présentes dans ce polycopié. N’hésitez pas à me les communiquer: elie@ensae.fr.

3

1
1.1

Notion d’Arbitrage
Hypothèses sur le marché

Nous supposerons que: 1. Les actifs sont divisibles à l’infini; 2. Lemarché est liquide: on peut acheter ou vendre à tout instant; 3. On peut emprunter et vendre à découvert; 4. Les échanges ont lieu sans coûts de transaction; 5. On peut emprunter et prêter au même taux constant r.

1.2

Arbitrage

Quelles sont les évolutions possibles du marché? Ω: ensemble des états possibles du marché; P: Probabilité réelle (ou en tout cas anticipée) de survenance dechacun des états. Quelles sont les stratégies d’investissement? Définition 1.1 Un portefeuille autofinancant est une stratégie d’achat ou de vente de titres, actions, prêts et emprunts à la banque, et plus généralement de produits dérivés dont la valeur n’est pas modifiée par l’ajout ou le retrait d’argent. On notera Xt la valeur en t du portefeuille X. On se donne donc simplement un capital initial etune stratégie dynamique d’investissement dans les actifs du marché à partir de ce capital de départ. Qu’est ce qu’une stratégie d’arbitrage ? Définition 1.2 Un arbitrage sur la période [0, T ] est un portefeuille autofinançant X de valeur nulle en t = 0 dont la valeur XT en T est positive et strictement positive avec une probabilité strictement positive. X0 = 0, XT ≥ 0 et P(XT > 0) > 0

On supposeraqu’il y a sur le marché l’hypothèse d’Absence d’opportunités d’arbitrage (AOA, no free lunch) entre tout instant 0 et T . {X0 = 0 et XT ≥ 0} ⇒ P(XT > 0) > 0 L’hypothèse signifie simplement: "Si ma richesse aujourd’hui est nulle, elle ne peut devenir positive et non identiquement nulle", soit "On ne peut gagner d’argent sans capital initial". 4

Le raisonnement (défaitiste) est: "Si il y avaitun arbitrage, quelqu’un en aurait déja profité". Sachant qu’il y a dans les banques beaucoup d’arbitragistes, cette hypothèse est cohérente sur les marchés.

1.3

Comparaison de portefeuilles

Proposition 1.1 En AOA, si deux portefeuilles autofinançants X et Y ont même valeur en T , ils ont même valeur en 0. XT = YT ⇒ X0 = Y0

Démonstration: Supposons X0 < Y0 et proposons la stratégiesuivante: A l’instant t = 0, achat de X, vente de Y et placement de Y0 − X0 > 0 à la banque. La valeur du portefeuille à l’instant t = T est XT − YT plus ce qu’a rapporté l’argent à la banque, qui est toujours > 0. en 0 Achat de X Vente de Y Placement du gain à la banque Valeur X0 −Y0 Y0 − X0 > 0 0 en T XT −YT (Y0 − X0 )/B(0, T ) > 0 >0

Donc AOA implique X0 < Y0 et, de manière similaire, on obtient X0> Y0 si bien que X0 = Y0 . 2 Remarque: Pour créer un arbitrage, on a acheté le moins cher et vendu le plus cher. Vu qu’ils ont meme valeur en T , on y gagne, logique... Proposition 1.2 En AOA, si deux portefeuilles autofinançants X et Y ont même valeur en T , elles ont presque sûrement même valeur en tout instant t ≤ T . XT = YT ⇒ ∀t ≤ T Xt = Yt P − p.s.

Ce résultat est une conséquence...
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