Calcul d'intégrale

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  • Publié le : 24 mars 2011
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Calculs d’intégrales. Primitives
Primitives
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie et dérivable sur I telleque F ′ = f.

Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale
Théorème fondamental • Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I. • Si F est une primitive de lafonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x → F(x) + C où C est une constante réelle.
x

• Si f est continue sur l’intervalle I alors, pour tout réel ade I, la fonction x → fonction f sur l’intervalle I. Ainsi, pour tout réel x de I,
x ′

f(t) dt est une primitive de la

a

f(t) dt
a

= f(x).

Plus précisément,
x

• Si f est continuesur l’intervalle, pour tous réel x0 de l’intervalle I et tout réel y0 , il existe une primitive F de f sur I et une seule telle que F(x0 ) = y0 . La primitive de f qui prend la valeur y0 en x0 est lafonction
x

la fonction x →

f(t) dt est la primitive de f sur I qui s’annule en a.
a

x → y0 +

f(t) dt.
x0

Expression d’une intégrale à l’aide d’une primitive
Soit f une fonctioncontinue sur un intervalle I. Soit F une primitive de f sur I. Pour tous réels a et b de I,
b

f(x) dx = F(b) − F(a).
a

Notation. Le nombre F(b) − F(a) est noté [F(x)]a .

b

Formuled’intégration par parties
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. On suppose que les fonctions dérivées u ′ et v ′ sont continues sur l’intervalle I. Alors, pour tous réels a et bde I,
b b

u ′ (x)v(x) dx = [u(x)v(x)]a −
a a

b

u(x)v ′ (x) dx.

Remarque. Si f est une fonction continue sur I, les notions d’intégrale et de primitive sont directement liées par larelation
b

f(x) dx = F(b) − F(a).
a

Mais il existe des fonctions dont on sait calculer l’intégrale et qui n’admettent pas de primitive. Les fonctions en escaliers fournissent des exemples de...