Calibration

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Calibration et la couverture des produites dérivés :
TP1 : Simulation du delta-Hedging dans le marché complet et incomplet.

AUGE Benjamin

Table des matières
INTRODUCTION : ..................................................................................................................................... 3 I) Construction d’un portefeuille pour éliminer le risque :..................................................................... 4 1. Simulation de l’évolution du prix de l’action................................................................................... 4 2. Simulation du portefeuille de couverture : ..................................................................................... 6 3. Calcul de la moyenne et de la variance de P&L final :..................................................................... 9 3. Etude de la moyenne et de la variance du P&L final : ................................................................... 10 4. Modèle de volatilité stochastique : ............................................................................................... 14 Modèle 1:...................................................................................................................................... 14 Modèle 2 :...................................................................................................................................... 15 II) Construction d’un portefeuille qui réplique l’option : ...................................................................... 18 III) Gamma Hedging :............................................................................................................................. 20 1. Calcul de la moyenne et de la variance du P&L final :................................................................... 23 2. Modèle de volatilité stochastique : ............................................................................................... 23 Modèle 1:...................................................................................................................................... 23 Modèle 2 :...................................................................................................................................... 25 Conclusion Générale.............................................................................................................................. 272

INTRODUCTION :

On étudie la performance de la stratégie de delta-couverture dans le modèle de Black et Scholes et celui de volatilité stochastique. Dans les deux cas le trading a lieu uniquement aux dates discrètes ti et le portefeuille n’est rebalancé que dans le nombre finis de points temporels pendant la vie de l’option.

On applique une stratégie de portefeuille autofinançantequi représente une stratégie dynamique d’achat ou de vente d’action et de prêts ou d’emprunts à la banque, dont la valeur de P n’est pas modifié par l’ajout ou retrait du cash.

P&L (Profil and Loss) de la stratégie de delta-couverture est mesurée par la différence entre le prix de l’option à la maturité et la valeur finale du portefeuille de la couverture.

Toute la simulation est en java pouroptimiser les performances temporelles

3

I) Construction d’un portefeuille pour éliminer le risque :
1. Simulation de l’évolution du prix de l’action
L’actif sous-jacent S est un processus stochastique S(t), t différentielle stochastique suivante : [0; T] qui vérifie l’équation

On note σ la volatilité de l’action, μ le drift. La solution de cette équation est donnée par la formule :Le prix S de l’action est donné par :

Pour la simulation, on a utilisé les valeurs numériques suivantes :

Question a) Simulation des Nmc chemins correspondants du prix de l’actif en partant toujours de S0=1 :
Voici un exemple de 8 trajectoires d’un actif risqué partant de S0.

4

On simulera un seul actif pour la construction de notre portefeuille :

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Question b,c :
Sachant...
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