Ccp-2004-mp

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SESSION 2004

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
_______________________

MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites. ***
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devrapoursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

A propos de l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux » du théorème de convergence normale d’une série de Fourier…
Pour toute fonction f :  → , continue par morceaux et de période 2π , on associe ses coefficients 1 2π de Fourier exponentiels définis, pour n ∈ Z, par c n ( f ) = f (t ) e −i n t dt et sescoefficients de 2π ∫ 0 Fourier trigonométriques définis par : 1 2π 1 2π a n ( f ) = ∫ f (t ) cos(n t ) dt (pour n ∈ ) et bn ( f ) = ∫ f (t ) sin(n t ) dt (pour n ∈  * ). π 0 π 0 On pose, pour tout entier naturel p et tout réel x : p p a S p ( f )( x) = ∑ c n ( f ) e i n x = 0 + ∑ ( a n ( f ) cos(n x) + bn ( f ) sin(n x) ) . 2 n =1 n=− p

On rappelle le théorème de convergence normale : Si f : →  est une fonction continue de période 2π et de classe C 1 par morceaux, la série de Fourier de f converge normalement vers la fonction f sur . Ainsi, la fonction f est limite uniforme de la suite de polynômes trigonométriques (S p( f )) p∈ .

Nous allons étudier ce qui peut se produire si on enlève à ce théorème l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux ». Une première partie démontre desrésultats préliminaires. Une deuxième partie traite d’un exemple où, sans l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux », la série de Fourier peut diverger.
Tournez la page S.V.P.

2

Une troisième partie recherche une condition plus faible pour que, sans l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux », on puisse quand même assurer que la série de Fourier de f converge uniformément vers la fonction fsur .

I.

Résultats préliminaires

1. Si, dans le théorème de convergence normale ci-dessus, on suppose que la fonction f n’est pas continue mais seulement continue par morceaux sur  :
a. Rappeler le théorème de Dirichlet en précisant de quel type de convergence il s’agit. b. Cette convergence pourrait-elle être uniforme sur  ?

2. On considère la fonction continue ϕ :  → , de période2π , paire et définie pour x ∈ [0, π] ,
par ϕ( x) = x . Donner l’allure de la courbe de cette fonction et expliquer pourquoi elle n’est pas de classe C 1 par morceaux sur .

3. Théorème de Cesàro
Soit (u n ) une suite de complexes qui converge vers le complexe l. a. Justifier, simplement, en utilisant un théorème de sommation de relations de comparaison, que :
n

∑ (u
k =0

k

− l )= o(n + 1) au voisinage de + ∞ .

 u + u1 + ... + u n  b. En déduire que la suite  0  converge vers l. n +1  

4. Soit une fonction f :  →  continue et de période 2π dont la somme de Fourier de rang n est notée S n ( f ) . Pour n entier naturel non nul, on définit la somme de Fejér de f de rang n, notée σ n ( f ) comme la moyenne de Cesàro des sommes de Fourier :
1 ( S0 ( f ) + S1 ( f) + ... + Sn ( f ) ) . n +1 On démontre, et nous l’admettrons, le théorème de Fejér : « La suite de polynômes trigonométriques ( σn ( f ) ) converge uniformément sur  vers la fonction f ». Une application : Si f :  →  est une fonction continue et de période 2π telle que la suite ( Sn ( f ) ) converge
σn ( f ) =

simplement sur , montrer que la suite ( Sn ( f ) ) converge vers la fonctionf.

5. Si (u n ) est une suite de réels positifs qui converge vers 0, montrer qu’il existe une suite de
réels (d n ) décroissante et de limite nulle telle que, pour tout entier naturel n, 0 ≤ u n ≤ d n (on pourra, par exemple, vérifier que la suite ( sup{ u k , k ≥ n} )n convient).

3

II. Un exemple de Série de Fourier divergente (en un point)
On considère la suite de fonctions ( f n...
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