SESSION 2004

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
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MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites. ***
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

A propos de l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux » du théorème de convergence normale d’une série de Fourier…
Pour toute fonction f :  → , continue par morceaux et de période 2π , on associe ses coefficients 1 2π de Fourier exponentiels définis, pour n ∈ Z, par c n ( f ) = f (t ) e −i n t dt et ses coefficients de 2π ∫ 0 Fourier trigonométriques définis par : 1 2π 1 2π a n ( f ) = ∫ f (t ) cos(n t ) dt (pour n ∈ ) et bn ( f ) = ∫ f (t ) sin(n t ) dt (pour n ∈  * ). π 0 π 0 On pose, pour tout entier naturel p et tout réel x : p p a S p ( f )( x) = ∑ c n ( f ) e i n x = 0 + ∑ ( a n ( f ) cos(n x) + bn ( f ) sin(n x) ) . 2 n =1 n=− p

On rappelle le théorème de convergence normale : Si f :  →  est une fonction continue de période 2π et de classe C 1 par morceaux, la série de Fourier de f converge normalement vers la fonction f sur . Ainsi, la fonction f est limite uniforme de la suite de polynômes trigonométriques (S p( f )) p∈ .

Nous allons étudier ce qui peut se produire si on enlève à ce théorème l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux ». Une première partie démontre des résultats préliminaires. Une deuxième partie traite d’un exemple où, sans l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux », la série de Fourier peut diverger.
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Une troisième partie recherche une condition plus faible pour que, sans l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux », on puisse quand même assurer que la série de Fourier de f converge uniformément vers la fonction f