CCP PC Math´matiques 1 e
Probl`me 1 e
1) a) F ⊂ M, F contient la matrice nulle, est stable par combinaison lin´aire , donc F est un sous espace vectoriel e de M b) I et F sont des ´l´ments de F et ne sont pas proportionnels donc (I, F ) est une famille libre de F ee ax + bz −bx + cz ax − by az − bt x z et M F = , on obtient F M = Posons M = ay + bt −by + ct bx + cy bz + ct y t y = −z c−a comme b = 0 , M ∈ F ´quivaut a e ` , donc F est un R-espace vectoriel de dimension 2 x= t+ z b (I, F ) est donc une base de F c) pour tout entier n , F n commute avec F , donc : ∀n ∈ N , F n ∈ F 2) a) d’apr`s 1-c et 1-b , F n est combinaison lin´aire de F et I ( unique) e e a2 − b2 −(ab + bc) b) F 2 = , donc α2 = a + c ; β2 = − b2 + ac = − det(F ) ab + bc −b2 + c2 β2 = 0 ⇔ det(F ) = 0 ⇔ F n’est pas inversible c) si F n = αnF + βn I , alors F n+1 = (α2αn + βn ) F + β2 αnI , et comme (I, F ) est une base de F αn+1 = α2αn + βn ∀n ∈ N , d’o` on d´duit : ∀n ∈ n , αn+2 − α2αn+1 − β2 αn = 0 u e βn+1 = β2 αn d) Si a = 3 et b = c = -2 , alors α2 = 1 et β2 = 2 , on obtient l’´quation caract´ristique r 2 − r − 2 = 0 e e n donc ∃(λ, µ) ∈ R2 , ∀n ∈ N , αn = λ2n + µ (−1) n 2n − (−1) comme α0 = 0 et α1 = 1 , ∀n ∈ N , αn = 3 n 2n + 2 (−1) , la formule est vraie pour n = 0 , donc β0 = 1 et ∀n ∈ N ∗ , βn = 2αn−1 = 3 n 2n + 2 (−1) ∀n ∈ N , βn = 3 e) Si a = 3 et b = c = 1 , alors α2 = 4 et β2 = −4 , on obtient de mˆme : e ∀n ∈ N αn = n2n−1 βn = − (n − 1) 2n

3) a) F est un sous anneau commutatif de M, car F 2 ∈ F et I et F commutent b) F est un corps si et seulement si toute matrice non nulle de F admet un inverse dans F et on sait que si cette matrice existe , elle est unique Soit M = λF + µI , une matrice donn´e de F, M = xF + yI e (α2λ + µ) x + λy = 0 MM = M M = I ⇔ (1) (β2 λ) x + µy = 1 F est un corps si et seulement si (1) est un syst`me de Cramer pour tout (λ, µ) ∈ R2 − {(0, 0)} e c’est a dire si ∀ (λ, µ) ∈ R2 − {(0, 0)} , µ2 + α2λµ − β2 λ2 = 0 ` α2 + 4β2 2 2 1 µ2 + α2λµ − β2 λ2 = µ + 2 α2λ