Exo7

Les nombres réels
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Motivation
Voici une introduction, non seulement à ce chapitre sur les nombres réels, mais aussi aux premiers chapitres de ce cours d’analyse.
Aux temps des babyloniens (en Mésopotamie de 3000 à 600 avant J.C.) le système de numération b était en base 60, c’est-à-dire que tous les nombres étaient exprimés sous la forme a + 60
+ 60c 2 + · · · .
On peut imaginer que pour les applications pratiques c’était largement suffisant (par exemple estimer la surface d’un champ, le diviser en deux parties égales, calculer le rendement par unité de surface,...). En langage moderne cela correspond à compter uniquement avec des nombres rationnels Q.
Les pythagoriciens (vers 500 avant J.C. en Grèce) montrent que 2 n’entre pas ce cadre là. C’estp à-dire que 2 ne peut s’écrire sous la forme q avec p et q deux entiers. C’est un double saut conceptuel : d’une part concevoir que démonstration. 2 est de nature différente mais surtout d’en donner une

Le fil rouge de ce cours va être deux exemples très simples : les nombres 10 et 1, 101/12 . Le premier représente par exemple la diagonale d’un rectangle de base 3 et de hauteur 1 ; le second correspond par exemple au taux d’intérêt mensuel d’un taux annuel de 10 %. Dans ce premier chapitre vous allez apprendre à montrer que 10 n’est pas un nombre rationnel mais aussi à encadrer 10 et 1, 101/12 entre deux entiers consécutifs.
Pour pouvoir calculer des décimales après la virgule, voire des centaines de décimales, nous aurons besoin d’outils beaucoup plus sophistiqués :
– une construction solide des nombres réels,
– l’étude des suites et de leur limites,
– l’étude des fonctions continues et des fonctions dérivables.
Ces trois points sont liés et permettent de répondre à notre problème, car par exemple nous verrons en étudiant la