Chapitre 6

Options am´ ericaines Alors qu’une option europ´eenne ne donne ` a son d´etenteur le droit d’exercer (et d’obtenir le pay-off) qu’` a un instant fix´e T , l’option am´ericaine correspondante lui donne ce droit ` a tout instant t ∈ [0..T ]δt :=
{0, δt, 2δt, . . . , T = nδt} compris entre 0 et T . Par exemple un call europ´een sur l’actif St rapportera
(ST − K)+ ` a la date T et le call am´ericain sur le mˆeme actif sous-jacent rapportera, s’il est exerc´e ` a la date t, le pay-off ϕ(St ) = (St − K)+ . Nous allons dans cette le¸con apprendre ` a calculer le prix d’une option am´ericaine et au passage nous decouvrirons quelques beaux outils du calcul stochastique comme le th´eor`eme d’arrˆet optimal ou la d´ecomposition de Doob-Meyer des surmartingales.

6.1

Calcul du prix par r´ ecurrence r´ etrograde Comme pr´ec´edemment, le processus (St ), d´efini pour tout t ∈ [0..T ]δt := {0, δt, 2δt, . . . , T = N δt}, repr´esente l’´evolution d’un actif financier au cours du temps, et on le suppose adapt´e par rapport ` a une filtration (Ft ) qui repr´esente l’information disponible ` a l’instant t. D´esignons par Ut la valeur ` a l’instant t d’une option am´ericaine dont le pay-off est not´e ϕ(St ) (s’il exerce son option ` a l’instant t, le d´etenteur de l’option re¸coit ϕ(St )). Comment ´evaluer son prix ?
On le d´etermine de proche en proche ` a partir de la valeur finale la valeur minimale d’un portefeuille de couverture. Tout d’abord, si l’option n’a pas ´et´e exerc´ee avant la date finale T , elle vaudra en t = T le pay-off ϕ(ST ). A l’instant pr´ec´edent t = T − δt, le vendeur devra pour se couvrir disposer d’une richesse au moins ´egale au pay-off ϕ(ST −δt ), pour le cas o` u le d´etenteur de l’option l’exercerait ` a cette date, et en mˆeme temps au moins ´egale ` a e−rδt E(ϕ(ST )/FT −δt ) qui est le prix d’un portefeuille de couverture lui permettant de faire face ` a ses obligations ` a la date T si le d´etenteur ne vient pas exercer avant T . On
peut