Chapitre 6 term s

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Méthodes Ch 6(début) : Nombres complexes (d’après « Faire le point » TS éd. Hachette)
Comment écrire un nombre complexe sous forme algébrique ?

Méthode Pour écrire un nombre complexe sous forme algébrique, on développe en
utilisant les propriétés de l’addition et de la multiplication dans C .
Et, s’il y a un dénominateur, on le multiplie par sonconjugué pour le rendre réel.
Attention : x + i y n’est la forme algébrique que si x et y sont réels.

Applications
Ex. 1 : Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe z = [pic] .
Ex. 2 : Soit f l’application de C – {-1} dans C définie par f(z) = [pic].
1) Calculer , sous forme algébrique f( i ) ; f(– i ) ; f( –1+i ) .
2) Résoudre dans C l’équation f( z ) =i et écrire la solution sous forme algébrique .

Réponses non détaillées

Ex. 1 : z = 2 + i .
Ex. 2 : 1) f(i) = [pic] ; f(–i) = [pic] ; f(–1+i) = 1 + i .
2) z = [pic] .

Comment résoudre dans C une équation du second degré à coefficients réels ?

Méthode Pour résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans C , on
calcule le discriminent et,suivant son signe , on applique les formules (s’il est
nul on obtient une solution réelle , s’il est strictement positif on obtient deux
solutions réelles et s’il est strictement négatif on obtient deux solutions complexes) .

Applications

Ex. 3 : Résoudre dans C les équations suivantes
1) z2 + 2 z + 3 = 0 ; 2) 2 z2 + z + 1 = 0 ; 3) z2 + 4= 0 ; 4) 25 z2 –30z + 9 = 0 .
Ex. 4 : 1) Montrer que tout nombre complexe z vérifie la relation :
8 z4 + 8 z3 – z – 1 = ( z + 1 ) ( 2 z – 1 ) ( 4 z2 + 2 z + 1 ) .
2) En utilisant ce résultat, résoudre dans C, l’équation 8 z4 + 8 z3 – z – 1 =0. (D’après un sujet du bac)

Réponses non détaillées

Ex. 3 : 1)–1 –[pic]i et –1 +[pic]i ; 2) [pic] et [pic] ; 3) –2i et2i ; 4) [pic].
Ex. 4 : 1) en développant le membre de gauche. 2) 4 sol. : –1 ; [pic] ; [pic] ; [pic].

Comment déterminer un ensemble de points à l’aide de la forme algébrique ?

Méthode Pour déterminer un ensemble de points , on doit :
. savoir traduire une donnée de l’énoncé (exemples : si z est réel alors son
image M est sur l’axe desabscisses ; si z est imaginaire pur alors son image
M est sur l’axe des ordonnées ; si[pic] alors l’image M de z est à la
distance 2 du point d’affixe i )
. savoir reconnaître les ensembles de points les plus classiques : droite par une
équation de la forme y = m x + p ou ax + b y + c = 0 ; cercle par une équationde la forme ( x – a )2 + ( y – b )2 = R2 ou par [pic].

Application

Ex.5 : Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; [pic] ; [pic]) .
On désigne par A et B les points d’affixes respectives – i et 2 i .
On désigne par P[pic] l’ensemble des points de P distincts de A.
Soit f l’application de P[pic] dansP qui, à tout point M d’affixe z , associe le point f(M) d’affixe Z telle
que Z = [pic].
1) a) Soit M1 le point d’affixe z1 = i ; soit M2 le point d’affixe z2 = [pic].
Déterminer f( M1) et f(M2) .
b) Déterminer le point M de P[pic] tel que f(M) = O, avec O le point d’affixe 0 .
Déterminer le point M de P[pic] tel que f(M) = N , où N est lepoint d’affixe 2 – i .
2) Déterminer et construire :
a) L’ensemble (E) des points M de P[pic] dont les images ont pour affixe un nombre imaginaire pur .
b) L’ensemble (F) des points M de P[pic] dont les images ont pour affixe un nombre réel .
c) L’ensemble (G) des points M de P[pic] dont les images appartiennent au cercle de centre 0 et de rayon 1 ....
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