CHAPITRE II

VECTEURS DU PLAN

I) LES VECTEURS
1.Notation. Egalité
ABCD et CDEF sont des parallélogrammes.
On a AB = DC et D C = EF . La translation qui transforme A en B transforme aussi D en C et E en F.
On peut donc noter AB , DC o u E F le vecteur de cette translation.
On le notera plus généralement u .
Ainsi on écrira : u = AB , u = DC , u = EF
Deux vecteurs AB et DC sont égaux s’ils ont même direction, même sens et si leurs longueurs AB et CD sont égales.
On note 0 le vecteur nul (pour tout point A du plan AA = 0 )
Si AB = 0 alors A et B sont deux points confondus.
2. Egalité et parallélogramme .
Soient quatre points A,B,C et D non alignés.
-Si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC , A D = BC , BA = CD et D A = CB .
-Si l’une des quatre égalités est vérifiée alors ABCD est un parallélogramme (et les trois autres égalités sont vérifiées)
3. Translation .
M’ est l’image de M par la translation de vecteur AB ⇔ M M' = AB
Propriété :
Si M’ et N’ sont les images de M et N par une translation alors on a MN = M 'N'
4. Caractérisation d’un point.
Etant donné un point A et un vecteur u , il existe un point M unique tel que AM = u .
5. Norme d’un vecteur.
Définition:
On appelle norme du vecteur AB la distance AB. On note
On appelle vecteur unitaire tout vecteur de norme 1.

A B = AB .

II) SOMME ET DIFFERENCE DE DEUX VECTEURS
1. Définition.
Etant donné deux vecteurs u et v, on appelle somme du vecteur u et du vecteur v le vecteur, noté u+v, défini de la façon suivante: si A est un point quelconque du plan, B le point tel que AB=u et C le point tel que BC=v alors u+v=AC.
L’égalité AB+BC=AC est appelée relation de CHASLES.
2. Propriétés
Quels que soient les vecteurs u,v et w du plan: u+v=v+u Commutativité
(u+v)+w=u+(v+w)
Associativité u+0=0+u=u 0 élément neutre
Tout vecteur u admet un opposé -u, ainsi si u=AB alors -u=-AB=BA u-v=u+(-v) III) MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN NOMBRE
1. Définition
Etant donné un vecteur u et un nombre k, on appelle produit du vecteur