Chapitre2

2663 mots 11 pages
CHAPITRE II
ESPACES VECTORIELS REELS
1- LES ESPACES VECTORIELS REELS
• On appelle espace vectoriel réel, tout ensemble
E muni de deux opérations somme interne + et produit externe par un réel qui vérifient toutes les propriétés de la somme et du produit externe énoncées dans le chapitre précédent. On le note
(E, +, ⋅).
Notation et théorème démontré en TD :
1) l’ensemble (Rn,+, ⋅) de tous les vecteurs à n lignes et une colonne muni est un espace vectoriel réel. 2) l’ensemble (Mm,n ,+, ⋅) de toutes les matrices à m lignes et n colonnes est un espace vectoriel réel
2. LES SOUS-ESPACES VECTORIELS
• On appelle sous-espace vectoriel F, de l’espace vectoriel (E, +, ⋅), une partie de E telle que munie
1

des mêmes opérations que E, elle constitue un espace vectoriel.
Théorème
1) Pour que F une partie non vide de E soit un sous-espace vectoriel il suffit qu’il vérifie les propriétés suivantes :
a)
la somme de deux éléments de F appartient à F (stabilité par +) :
∀ u ∈ F, ∀ v ∈ F, u + v ∈ F
b)
le produit par réel d’un élément de F appartient à F (stabilité par ⋅) :
∀ λ ∈ R, ∀ u ∈ F, λ u ∈ F
2) On peut résumer ces deux propriétés par une seule :
Toute combinaison linéaire de F appartient à
F (stabilité par combinaison linéaire) :
∀ u∈F, ∀ v∈F, ∀ λ ∈ R, ∀ µ ∈ R , λ u + µ v ∈ F
Preuve.
1)
Comme tous les éléments de F sont des éléments de E, ils vérifient naturellement toutes les propriétés de l’espace vectoriel. Le seul risque est qu’au cours des opérations, on sorte de F pour aller dans E : ce risque est

2

éliminé par les propriétés exigées par le théorème. 2.1) si F est stable par combinaison linéaire c’est à dire λ u + µ v ∈ F, en choisissant : λ = µ = 1 on obtient u + v ∈ F et µ = 0 on obtient λ u ∈ F.
2.2) si F est stable par chaque loi alors λ u ∈ F et µ v ∈ F par 1) b puis λ u + µ v ∈ F par 1) a
Remarques :
1) Un sous espace vectoriel réel d’un espace E contient toujours l’élément 0E
2) {0E} est toujours un sous espace vectoriel de E.
EXEMPLES
1) Soit F l’ensemble

en relation

  • Maths
    908 mots | 4 pages
  • Dm de mathématiques
    540 mots | 3 pages
  • math
    1125 mots | 5 pages
  • Je sens bon
    1403 mots | 6 pages
  • Ds mathématique
    499 mots | 2 pages
  • Maths pour l'info rappel
    1111 mots | 5 pages
  • Anales mass
    3591 mots | 15 pages
  • M EA ENS JMF 03
    1204 mots | 5 pages
  • Chapitre 2
    3080 mots | 13 pages
  • Les maths
    1228 mots | 5 pages
  • Féféféz
    835 mots | 4 pages
  • Stg ma
    1867 mots | 8 pages
  • Cnc 2004
    1531 mots | 7 pages
  • Chapitre 2
    2153 mots | 9 pages
  • Mines 1991
    1091 mots | 5 pages