Charles babbage

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  • Publié le : 12 avril 2011
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Mathématiques financières (1ere Année)

Introduction

L’intérêt I est la rémunération d’un placement d’argent, versée par un emprunteur à un prêteur. Pour le prêteur, c’est le prix de sa renonciation temporaire à une consommation. Tandis que pour l’emprunteur, c’est un cout correspondant à une consommation anticipée.

Dans tous les cas, le rapport au temps est l’idée fondamentale, lemontant de l’intérêt dépend :
- du capital emprunté ou placé,
- du taux d’intérêt i pour 1 Ar et pour une unité de temps (la période),
- de la durée t du placement (dans la même unité de temps).

I. Les opérations à court terme
1. L’intérêt simple
1.1 L’intérêt
On parle d’intérêt simple lorsque l’intérêt est proportionnel à la durée du placement ; généralement, on utilise les intérêts simplespour des opérations à court terme.
L’intérêt d’un placement, proportionnel aux trois quantités Capital, Taux, Temps est donc proportionnel au produit des mesures de ces trois quantités.
Si nous désignons par :
C le montant du capital prêté (en Ariary)
n la durée du prêt (année, mois ou jour)
t le taux de placement pour 100 Ariary et pour 1 an,
l’intérêt I sera donné par la formule :

duréeexprimée en année :
I=C100×t×n ou I=Ctn100

durée exprimée en mois :
la durée n correspond alors à n12 d’année, I devient :
I=C100×t×n12=Ctn1200
durée exprimée en jours :
la durée n correspond alors à n360 d’année, I devient :
I=C100×t×n360=Ctn36 000
Remarques :
- la durée n doit être exprimée dans la même unité de temps que la période,
- pour le calcul du nombre de jours de placement,le principe est de compter des jours qui séparent les deux dates extrêmes en ne retenant dans le calcul que l’une de ces deux dates.

1.2 La valeur acquise
On appelle valeur acquise par un capital placé le résultat de l’addition à ce capital de l’intérêt qu’il a produit.
Cn=A=C+I ou C+Ctn36 000
Autrement dit, des qu’un capital est placé, il change de valeur à une autre date.

1.3 Tauxmoyen de plusieurs placements
Prenons le cas d’une personne effectuant simultanément k placements à différentes conditions : les capitaux C1,C2 et C3 placés respectivement aux taux t1,t2 et t3 pendant n1, n2 et n3. L’intérêt total sera alors : I=I1+I2+I3
soit I=C1t1n1100+C2t2n2100+C3t3n3100
Nous appellerons de cet ensemble de placements le taux unique T qui, appliqué aux capitaux placés et pourleurs durées respectives, conduirait au même intérêt total. Ce taux T est donc donné par la résolution de l’égalité : C1t1n1100+C2t2n2100+C3t3n3100=C1Tn1100+C2Tn2100+C3Tn3100
D’où, T=CitiniCini

1.4 Intérêt civil et intérêt commercial
Certaines pratiques conduisent à exprimer l’année par 365 jours, la formule du calcul de l’intérêt simple de vient alors : I=Ctn100×365=Ctn36 500, nousappellerons intérêt civil l’intérêt ainsi calculé, et intérêt commercial, l’intérêt calculé en comptant l’année à 360 jours. La démonstration ci-dessous nous permettra d’avancer que l’intérêt commercial demeure plus élevé que l’intérêt civil.
I-I'=Ctn36 000-Ctn36 500=Ctn(36 500-36 000)36 500×36 000
=Ctn×50036 500×36 000=Ctn36 000×50036 500=I×173=I73
ou bien, Ctn36 500×50036 000=I'×172=I'72
ainsi, ladifférence entre l’intérêt commercial et l’intérêt civil est égale au 173 de l’intérêt commercial et au 172 de l’intérêt civil.

1.5 Taux effectif de placement
S’il est courant de voir le paiement des intérêts par l’emprunteur au jour du remboursement du capital emprunté, il est aussi fréquent de constater que, par convention entre prêteur et emprunteur, les intérêts soient versés par l’emprunteurle jour de la conclusion du contrat de prêt.
Exemple sur les bons de Trésor : le souscripteur prête Ar 100 000 au taux de 24% pendant un an, les intérêts sont payés d’avance et il ne remettra que Ar 76 000 (Ar 100 000 – Ar 24 000). En réalité, les Ar 24 000 représentent l’intérêt des Ar 76 000, le taux effectif est donc supérieur au taux stipulé dans la convention.
24 000=76 000×t'×1100 d’où...
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