ECE1 - ENC Bessières 2014/2015
Mme BALSAN
Exercice 1 :
=

1)

+

existe ⇔
>0⇔

−

=0⇔

=0

2) Pour x réel,

≠ 0 ce qui est toujours vrai (
>0 ⇔

⇔ 2 >0⇔

Du même coup, on obtient

>

>0

⇔

+

+

−
+

−
²

+

+

+

−

+

- ∞

+

−

−

²

+

=

−

=

+ 1

= 0 et

²

−
²
=

4

. f est du signe de x sur ℝ.

²
+

²

=

4
+

²

>0

3) On en déduit le tableau de variations de f sur ℝ:

sur ℝ (du signe de x).

Remarque : le tableau de variations confirme le signe de
" "
"

+

2

²−
+

=ℝ

1

-1

0 ="

2

+∞

0

0

4) On calcule

1) L’ensemble de définition de f est

2) L’ensemble des zéros de f sur ℝ est =

On factorise le numérateur à l’aide d’une identité remarquable :
=

>0

> − (exp est strictement croissante sur ℝ)

3) f est dérivable sur ℝ et, pour x dans ℝ, on a
=

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DM3 – 03 Novembre 2014
Corrigé

0 =

%
" " ²

=1

0 = 1. Un équation de cette tangente est donc ' − 0 = 1

−0

La tangente au graphe de f au point d’abscisse 0 est la droite passant par le point (0,f(0)), c’est-à-dire (0,0), et de coefficient directeur *5) ∀ ∈ ℝ

=

,

²

,

Au lieu de factoriser, on « découpe » développe la fraction :
∀ ∈ℝ

=

+
+

-

²

−

4) ( = ).

−
+

-

²

=1−.

−
+

-

/ =1−

-

0

∀) ∈ ℝ

1 ) =2− 1 )

3

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6) On a vu que ∀ ∈ ℝ

On a donc

∀ ∈ℝ 1−

-

-

∀ ∈ ℝ −1 <

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DM3 – 03 Novembre 2014
Corrigé

> 0.

> 0, donc

< 1, donc

< 1 (d’après le graphe de la fonction carrée).

Remarque : On peut aussi raisonner sur le signe du trinôme 1 − 5² = 1 − 5 1 + 5 qui est positif entre les racines.
6

−

<1⇔

<

+

car

Remarque : on aurait pu aussi écrire
⇔ 2

Ou encore :

−1=

−
+

>0⇔

−1=

7) Etude en +∞:

:;<

→ >

:;<

Et

= +∞

= :;<

→ >

?→ >

donc

:;<

> 0 toujours vrai !

−2
+

>0

<0

=0

= :;<

+

→ >

?

+

→ >

−

= +∞ @ABC @ABC

→ >

donc

lim

→ >

-

= lim

?→ >

=

Etude en −∞:

:;<

→ >

:;<

Et

→ >

donc

?

=0

1−0
=1
1+0

=0

= :;<

?→ >

?

= +∞

=

1−
1+

1
−

:;<

→ >

Quand x tend vers +∞, le terme