Cnc 2009 math

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 7 (1547 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 1 mai 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
Concours National Commun – Session 2009 – TSI L’´ nonc´ de cette epreuve, particuli` re aux candidats de la fili` re TSI, e e ´ e e comporte 3 pages. L’usage de la calculatrice est interdit . Les candidats sont inform´s que la qualit´ de la r´daction et de la pr´sentation, la clart´ et la pr´cision des e e e e e e raisonnements constitueront des el´ments importants pour l’appr´ciation des copies.Il convient en particulier ´e e de rappeler avec pr´cision les r´ f´ rences des questions abord´es. e ee e

ˆ Si, au cours de l’´ preuve, un candidat rep` re ce qui lui semble etre une erreur d’´ nonc´ , il le e e e e signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´ a prendre. e`

EXERCICE
Soit h la fonction d´ finie sur R2 par h(x, y) =e 1. (a) Justifier que h est continue sur R2 . (b) Montrer que h est de classe C 1 sur R2 \{(0, 0)} et calculer ses d´ riv´ es partielles premi` res e e e en tout point de cet ensemble. (c) h poss` de-t-elle des d´ riv´ es partielles premi` res en (0, 0) ? e e e e 2. (a) Montrer que U = {(x, y) ∈ R2 ; 0 < (b) h a-t-elle des points critiques dans U ? (c) Montrer que h est born´ e sur D = {(x, y) ∈R2 ; x2 + y 2 e 4} et qu’elle y atteint ses bornes, puis d´ terminer les points de D en lesquels ces bornes sont atteintes. e x2 + y 2 < 2} est un ouvert de R2 . x2 + y 2 + y 2 − 1.

` PROBL E ME
` 1ere Partie : Calcul d’une int´ grale et etude d’une fonction e ´

A. Calcul de l’int´ grale de Gauss e
+∞

1. Montrer que l’int´ grale e
0

e−t dt est convergente ; sa valeur sera not´ e τ .e
+∞

2

2. Montrer que pour tout x

0, l’int´ grale e
0 +∞

e−xt dt est convergente. On pose alors 1 + t2 e−xt dt, x 1 + t2
2

2

ψ(x) =
0

0.

3. Calculer ψ(0) et justifier que ψ est d´ croissante sur R+ . e 4. (a) Montrer que ψ est continue sur R+ . (b) Montrer de mˆ me que ψ est de classe C 1 sur ]0, +∞[ ; pour cela on montrera que ψ est de e classe C 1 sur [a, +∞[ pourtout r´ el a > 0. e (c) V´ rifier que ψ est solution sur ]0, +∞[ de l’´ quation diff´ rentielle y − y = e e e 5. (a) Montrer que pour tout x > 0, 0 ψ(x)
τ √ x τ √ . x

et en d´ duire la limite de ψ en +∞. e

(b) Pr´ ciser la limite de la fonction ψ en 0+ et dessiner l’allure du graphe de la fonction ψ. e ´ Epreuve de Math´ matiques I e 1/3 Tournez la page S.V.P.

Concours National Commun –Session 2009 – TSI 6. On pose λ(x) = e−x ψ(x), x (a) Montrer que l’int´ grale e
0

0.
+∞

e−t √ dt converge. t
x 0

(b) Montrer que pour tout x

0, λ(x) = c − τ
+∞

e−t √ dt en fonction de τ . puis en d´ duire la valeur de e t 0 +∞ −t e √ dt = 2 (c) Montrer par un changement de variable que t 0 √ π que τ = 2 . ´ B. Etude d’une fonction
x2

e−t √ dt ou c est une constante a d´terminer, ` ` e t

+∞ 0

e e−t dt et en d´ duire

2

On note F et f les fonctions d´ finies sur R par F (x) = e
x

e−t dt et f (x) =
0

2

x

e−t dt.

2

1.

` (a) Exprimer F a l’aide de f . (b) Justifier que F est de classe C 1 sur R et calculer sa d´ riv´ e. e e

2. En comparant x et x2 pour tout x ∈ R, pr´ ciser le signe de F sur les intervalles ] − ∞, 0[, ]0, 1[ e et ]1, +∞[.Que vaut F (0) ? Et F (1) ? √ 3. (a) Montrer que F (x) tend vers π lorsque x tend vers −∞. (b) Montrer que pour tout x 4. On pose g(x) = 2xex
2 −x4

1, 0

F (x)

e−x − e−x et en d´ duire la limite de F en +∞. e

2

− 1, x ∈ R.

(a) Calculer la d´ riv´ e de g et montrer que g (x) = 0 si et seulement si x = ±α avec √ √ e e α = 1+ 5 . 2 ´ (b) Etudier les variations de g ; on fera untableau de variations en pr´ cisant les limites en e ±∞. Justifier qu’il existe a ∈]0, α[ et b > 1 tels que g(a) = g(b) = 0. 5. ´ (a) Etudier les variations de F ; on fera un tableau de variations et on pr´ cisera les signes de e F (a) et F (b). (b) Dessiner l’allure de la courbe repr´ sentative de F (unit´ 2 cm) ; on pr´ cisera les pentes e e e ` des tangentes aux points d’abscisses 0, 1, a et b...
tracking img