Un corrigé du CNC 2011 MP Maths1 1.1) Soit h : t  gte ixt . On a h est continue sur R et |ht| |gt|  O t12  t donc h est intégrable sur R. 1.2) On a gt  O t12  donc il existe M  0 et A  0 tels que pour |t| A, |gt| t M t2

.

Soit J un segment de R donc il existe a  0 tel que J  a, a pour n  |g n t|  |gt  2n||gt  2n| et  n1 1 n2 n0 M t2n 2

aA 2

on a:

pour t  J, |t  2n| 2n  |t| 2n  a  A de même |t  2n| 2n  |t| A donc 
M t2n 2 M  2 2na 2

converge donc  g n converge normalement donc uniformément sur J.

 M2 12 n 2 n

1.3.1) Notations: On note cvs (resp cvu,cvn) pour converge simplement (respuniformément, normalement). D’aprés 1.2) on a  g n cvn sur tout segment en particulier cvs sur R, g est n0 de classe C 1 sur R donc g n l’est aussi, comme g  t  O t12  alors en appliquant 1.2) à g   on obtient  g n cvn sur tout segment de R, par théorème de dérivation on déduit que g est n0 t

de classe C 1 sur R.  1.3.2) gt  2  lim  gt  2  2k  lim  gt  2k or gt  O t12  donc n kn n k1n t n n1

n

  lim gt  2n  lim gt  2n  1  0 donc gt  2  lim  gt  2k  gt n n kn1 n 1 2

n1

  donc g est 2 périodique. On a c k g 

  0 e ikt gtdt, notons S n t   gt  2.
n

2

   D’aprés 1.2) S n cvu vers g sur 0, 2, or |e ikt gt  e ikt S n t| |gt  S n t| donc  e ikt S n t cvu vers e ikt g t sur 0, 2 et par théorème d’inversion limite intégral on a  c k g  lim  
1 2 1 2 n n 21 1 2 n

 0 e ikt S n tdt et e iku

2

1 2

 0 e ikt S n tdt  
2n1 iku

2

1 2

n

 0 e ikt gt  2dt
1 2

2

n

  2

gudu 

1 2

 2n e

 gudu donc c k g 

R e iku gudu

ĝk.

 1.3.3) On a |g2n|  O n12  donc g2n nZ est