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Introduction

Le point de d´part de cet article est, je crois, une question qui surgit lors d’une e le¸on d’agreg ` laquelle je n’assistais pas. Rappelons qu’un anneau noeth´rien c a e est un anneau dans lequel tout id´al est finiment engendr´. Ce qui ´quivaut e e e a ` dire que toute suite croissante d’id´aux de cet anneau est stationnaire. La e question ´tait: cette ´quivalence utilise-t-elle l’axiome du choix? L’ouvrage e e (par ailleur excellent) de Jean Perrin [Per82], et par suite l’agr´gatif au tableau e ce jour l`, affirmait que non. Eric Halberstadt fit remarquer que si et fut je crois a mal compris. De l` vient mon envie d’´crire cet article, article qui m’obligea ` a e a des investigations qui m’emmen`rent plus loin qu’initiallement pr´vu, et furent e e a ` l’origine de questions dont j’ignore encore la r´ponse (si quelqu’un sait quelque e chose ` ce sujet...). a L’essentiel de ce qui va suivre vient de mes discussions avec Eric Jaligot, Maurice Pouzet et mes coll`gues agr´gatifs, qu’ils en soient remerci´s. e e e Au fait, quel est le lien de tout ceci avec le lemme de Baire? Patience, j’y reviendrai.

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Le lemme de Baire

Je ne fais ici que rappeler le lemme de Baire et sa d´monstration la plus classique. e Ceux qui connaissent d´j` ceci peuvent se rendre au paragraphe suivant. ea Lemme 1 Soit E un espace de Banach, (On )n∈N une famille d´nombrable e d’ouverts denses de E. Alors ∩i∈N On est dense dans E. Dmonstration Il suffit de montrer que pour tout ouvert O de E, O (∩i∈N On ) n’est pas vide. Soit donc O un ouvert de E. O1 ´tant dense dans E, O ∩O1 n’est pas vide et e on peut choisir x0 ∈ E et r0 < 1 tels que B(x0 , r0 ) ⊂ O ∩ O1 (B(x0 , r0 ) d´signe e la boule ouverte de centre x0 et de rayon r0 ). On construit par r´curence une suite ((xn , rn ))n∈N telle que pour tout n ∈ N, e B(xn+1 , rn+1 ) ⊂ B(xn , rn /2) (∩1≤i≤n+1 Oi ) et rn < 1/n. Pour cela, supposons cette suite construite jusqu’a l’ordre n. On+1 ´tant dense dans E, e B(xn , rn ) ∩