Colle de math

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  • Publié le : 25 juillet 2011
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Introduction

Le point de d´part de cet article est, je crois, une question qui surgit lors d’une e le¸on d’agreg ` laquelle je n’assistais pas. Rappelons qu’un anneau noeth´rien c a e est un anneau dans lequel tout id´al est finiment engendr´. Ce qui ´quivaut e e e a ` dire que toute suite croissante d’id´aux de cet anneau est stationnaire. La e question ´tait: cette ´quivalenceutilise-t-elle l’axiome du choix? L’ouvrage e e (par ailleur excellent) de Jean Perrin [Per82], et par suite l’agr´gatif au tableau e ce jour l`, affirmait que non. Eric Halberstadt fit remarquer que si et fut je crois a mal compris. De l` vient mon envie d’´crire cet article, article qui m’obligea ` a e a des investigations qui m’emmen`rent plus loin qu’initiallement pr´vu, et furent e e a ` l’origine dequestions dont j’ignore encore la r´ponse (si quelqu’un sait quelque e chose ` ce sujet...). a L’essentiel de ce qui va suivre vient de mes discussions avec Eric Jaligot, Maurice Pouzet et mes coll`gues agr´gatifs, qu’ils en soient remerci´s. e e e Au fait, quel est le lien de tout ceci avec le lemme de Baire? Patience, j’y reviendrai.

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Le lemme de Baire

Je ne fais ici que rappeler lelemme de Baire et sa d´monstration la plus classique. e Ceux qui connaissent d´j` ceci peuvent se rendre au paragraphe suivant. ea Lemme 1 Soit E un espace de Banach, (On )n∈N une famille d´nombrable e d’ouverts denses de E. Alors ∩i∈N On est dense dans E. Dmonstration Il suffit de montrer que pour tout ouvert O de E, O (∩i∈N On ) n’est pas vide. Soit donc O un ouvert de E. O1 ´tant dense dans E, O∩O1 n’est pas vide et e on peut choisir x0 ∈ E et r0 < 1 tels que B(x0 , r0 ) ⊂ O ∩ O1 (B(x0 , r0 ) d´signe e la boule ouverte de centre x0 et de rayon r0 ). On construit par r´curence une suite ((xn , rn ))n∈N telle que pour tout n ∈ N, e B(xn+1 , rn+1 ) ⊂ B(xn , rn /2) (∩1≤i≤n+1 Oi ) et rn < 1/n. Pour cela, supposons cette suite construite jusqu’a l’ordre n. On+1 ´tant dense dans E, e B(xn , rn ) ∩On+1 n’est pas vide et on peut choisir xn+1 ∈ E et rn+1 < 1/(n + 1) tels que B(xn+1 , rn+1 ) ⊂ B(xn , rn /2) ∩ On+1 . On v´rifie alors facilement que la suite (xn )n∈N est de cauchy, donc qu’elle e converge car E est complet. Sa limite l est dans ∩n∈N On car pour tout n ∈ N, l ∈ B(xn , rn /2) ⊂ B(xn , rn ).

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L’axiome du choix

On ne peut rien d´montrer si on ne part pas d’une hypoth`sede d´part; depuis e e e Euclide, les math´maticiens utilisent tous plus ou moins une m´thode axiomae e tique, c’est ` dire qu’il partent d’un ensemble d’axiomes qu’ils jugent intuitivea ment ´vident et se donnent ensuite un ensemble de r`gles de d´monstration e e e (les logiciens disent r`gles d’inf´rences) qui leur permettent de d´montrer de e e e nouveaux th´or`mes ` partir de ces axiomes. Celane signifie pas qu’ils ont e e a

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en permanence ces axiomes et ces r`gles d’inf´rences en tˆte lors de leur prae e e tique quotidienne des math´matiques, mais qu’ils sont ` peu pr`s persuad´s e a e e que s’ils y mettaient le temps voulu, ils pourraient formaliser enti´rement leurs e d´monstrations. e On ne peut pas non plus d´finir tout les objets math´matiques ` partir de e e a rien, c’est` dire qu’on doit se donner un certain nombre d’objets de base dont a la d´finition est intuitivement ´vidente. Au d´but du si`cle eu lieu une tentae e e e tive pour construire tout les objets math´matiques ` partir des seules notions e a d’ensemble et d’appartenance; c’est ce point de vue qui c’est impos´, et on d´finit e e aujourd’hui N comme ´tant le plus petit ordinal infin, Z comme ensembledes e classes d’une relation d’´quivalence sur N2 , Q comme ensemble des classes d’une e a relation d’´quivalence sur Z2 , R ` partir de l’ensemble des coupures de Q, etc. e Si nous construisons les math´matique ` partir de la th´orie des ensembles, e a e ils nous faut axiomatiser celle-ci. Certains des axiomes courament admis depuis le d´but du si`cle ne sont pas discut´s, ce sont ceux de...
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