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DL d’une fonction en 0 : Développement Limité d’une fonction f au voisinage de 0
1ière méthode : la formule de Taylor Young :
Soit f une fonction réelle n + 1 fois dérivable (dérivable à l’ordre n + 1 ) sur un intervalle I de » tel que 0 ∈ I
On appelle DL d’ordre n ∈ » de la fonction f en 0 , la formule de Taylor Young (avec le reste de Young) :
2
3 n f ′ ( 0) f ( ) ( 0) 2 f ( ) ( 0) 3 f ( ) ( 0) n
∀x ∈ I f ( x ) = f ( 0 ) + x+ x + x + ....... + x + x n ε ( x ) avec lim ε ( x ) = 0
1
2!
3!
n! x→0 Le DL en x 0 ∈ I s’écrit :

f ( x ) = f ( x0 ) + avec f ′ ( x0 )
1

( x − x0 ) +

f(

2)

( x0 )

2!

( x − x0 )

2

+

f(

3)

( x0 )

3!

3

( x − x0 )

+ ....... +

f(

n)

( x0 )

n!

( x − x 0 ) n + ( x − x 0 )n ε ( x )

lim ε ( x ) = 0 x → x0

Ces 2 formules permettent de calculer les DL de beaucoup de fonctions….
Exemples
1.

Si f ( x ) = e x comme f ′ ( x ) = e x et f (2) ( x ) = e x on a : f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = f (2) ( 0 ) = e0 = 1 .

1
1
x2
Dans un voisinage de 0 on a : e x = 1 + x + x 2 + x 2ε ( x ) = 1 + x +
+ x 2 ε ( x ) (DL d’ordre 2 en 0)
1
2!
2
2.

Si f ( x ) = sin ( x ) comme f ′ ( x ) = cos ( x ) et f (2) ( x ) = − sin ( x ) et f (3) ( x ) = − cos ( x ) on a : f ( 0 ) = sin ( 0 ) = 0 et f ′ ( 0 ) = cos ( 0 ) = 1 et f (2) ( 0 ) = − sin ( 0 ) = 0 et f (3) ( 0 ) = − cos ( 0 ) = −1

3.

−1 3
1
0 x3 Dans un voisinage de 0 on a : sin ( x ) = 0 + x + x 2 + x + x 3ε ( x ) = x −
+ x 3ε ( x ) (DL d’ordre 3)
1
2!
3!
3! x3 ATTENTION : Le DL d’ordre 4 en 0 de la fonction sinus (fonction impaire) est : sin ( x ) = x −
+ x 4ε ( x )
3!
(même partie régulière que DL d’ordre 3)

2ième méthode : DL d’une primitive ou d’une dérivée :
Soit F une fonction primitive de la fonction f sur I (contenant 0)
Si la fonction f admet un DL d’ordre n alors la fonction F admet un DL d’ordre n+1 et on a : si f ( x ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ....... + a n x