Commande industrielle cours # 8 – introduction à la commande numérique (chap. 17)

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Commande Industrielle Cours # 8 – Introduction à la commande numérique (Chap. 17)

Déroulement
• • • • Rappels sur l’échantillonnage Brèves considérations pratiques La transformée en Z Principes généraux en commande numérique

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Échantillonnage
Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num.

• Rappels :

L’opération d’échantillonnage implique une certaine perted’informations…

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Échantillonnage
Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num.

• Rappels :
Période d’échantillonnage

y (t ) → =

y [n ]

y (n T S )

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Échantillonnage
Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num.

• Théorème de Nyquist :
– Le contenu fréquentiel d’un signal échantillonné est limité au maximum à la moitié de lafréquence d’échantillonnage : f max = fs 2

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Théorème de Nyquist
Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num.

• Exemple :
– Signaux échantillonnés à fs = 100 Hz :

1. cos ( 2 π 40 t ) 2. cos ( 2 π 60 t )
Fréquence des signaux (Hz)

cos (2 π 40 n T s ) cos (2 π 60 n T s )

= cos ( 0.8 π n ) = cos (1.2 π n )

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Théorème de Nyquist
Échantillonnage Aspectspratiques Transformée en Z Commande Num.

• Superposition des signaux :

cos ( 0.8 π n ) vs cos (1.2 π n )
Les échantillons concordent!
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Théorème de Nyquist
Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num.

• Autre exemple peut-être plus éloquent :

cos ( 0.2 π n ) vs cos ( 2.2 π n )
(10 Hz vs 110 Hz)

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Théorème de Nyquist
Échantillonnage Aspects pratiquesTransformée en Z Commande Num.

• Expressions équivalentes :
cos ( x ) = cos ( x + 2 π ) = cos ( x − 2 π ) = cos ( x ± k × 2 π )
(k entier)

(40 Hz vs 60 Hz) :

cos (1.2 π n ) = cos (1.2 π n − 2 π n ) = cos ( − 0.8 π n ) = cos ( 0.8 π n ) (car cosinus est une fonction paire)

(10 Hz vs 110 Hz) :

Fréquences « numériques »

cos ( 2.2 π k ) = cos ( 2.2 π n − 2 π n ) = cos ( 0.2 π n )Phénomène de Repliement Spectral…
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Fréquences numériques
Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num.

• En numérique, toutes les fréquences trouvent leur équivalent entre -π et π.
⎛ 2π f 1 ⎞ n ⎟ = cos (Ω 1 n ) = cos ⎜ ⎟ ⎜ fs ⎠ ⎝ ⎛ 2π f 2 = cos ⎜ ⎜ fs ⎝ ⎞ n ⎟ = cos (Ω 2 n ) ⎟ ⎠

cos (2 π f 1 t ) → cos (2 π f 1 n T s )

cos (2 π f 2 t ) → cos (2 π f 2 n T s )

À cause despropriétés vues plus tôt, le « spectre » numérique est limité entre -π et π.
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Repliement Spectral
Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num.

• Illustration graphique du phénomène :

Fréquences « numériques » Fréquences dans le domaine continu Les informations contenues dans le spectre au-delà de la fréquence de Nyquist sont perdues…



π

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Aspectspratiques
Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num.

• Reconstruction du signal échantillonné :
– Utilisation d’un Bloqueur d’Ordre Zéro (BOZ) :

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Aspects pratiques
Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num.

• Nécessité d’un filtre anti-repliement (filtre passe-bas évitant d’échantillonner les hautes fréquences). • Filtre est nécessairedu côté analogique (avant l’échantillonnage) puisque après ce point, toutes les fréquences seront contenues entre –fs / 2 et fs / 2…

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Aspects pratiques
Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num.

• Filtre anti-repliement :
Bloqueur d’ordre zéro…

Filtre antirepliement
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Aspects pratiques
Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num.• Filtre anti-repliement :
– Assure que le traitement fait sur le signal reçu soit effectivement fait sur de « vrais » aspects du signal physique (continu) :
• i.e. : le signal reçu doit être représentatif du « vrai » signal physique…

– Évite que la présence d’un bruit à hautes fréquences entraîne des oscillations à plus basses fréquences dans l’asservissement.

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Transformée...
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