GL2 (Z)

Diagonalisation : résumé

MOSE 1003

COMMENT DIAGONALISER UNE MATRICE 2 × 2 EN 6 ÉTAPES
Petits rappels de théorie Étant donnée une matrice 2 × 2
A=

1. A est diagonale si A =

a b
,
c d

λ1 0
;
0 λ2

2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où
∆ est diagonale.
0
x
3. v =
,v=
est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0
La recette Considérons par exemple
A=

1 2
.
2 1

1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A − xI2 ). Ici pA (x) = det A =

1 2 x 0
−
2 1
0 x

= det

1−x
2
2
1−x

= (1 − x)2 − 2 · 2 = x2 − 2x − 3.
2. Valeurs propres de A : ce sont les racines de pA (x) : ici
√
x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ± 1 + 3, donc nous avons λ1 = −1 et λ2 = 3.
3. Les valeurs propres comment sont-elles ?
(a) λ1 , λ2 complexes conjuguées : A n’est pas diagonalisable sur R ;
(b) λ1 = λ2 réelles : A est diagonalisable, et sa forme diagonale est ∆ =

λ1 0
;
0 λ2

(c) λ1 = λ2 : A diagonalisable si et seulement si A est déjà diagonale (au départ) : il n’y a rien à ajouter.
−1 0
Ici, A est diagonalisable, et sa forme diagonale est ∆ =
.
0 3
Dans la suite, on s’intéressera au cas (b).
4. Vecteur propre v1 de valeur propre λ1 : c’est une solution non nulle du système
(A − λ1 I2 )v1 = 0. Ici
1 − (−1)
2
2
1 − (−1)

x y =

0
0

⇔

2x + 2y = 0
2x + 2y = 0

⇔x+y =0

1
(Attention : il y a toujours une infinité de
−1
solutions, c-a-d une équation disparaît toujours, sinon il y a une erreur quelque part). donc on peut prendre v1 =

5. Vecteur propre v2 de valeur propre λ2 : ici
1−3
2
2
1−3

x y donc on peut prendre v2 =

0
0

=
1
1

⇔

−2x + 2y = 0
2x − 2y = 0

⇔x−y =0

.

6. La matrice P est simplement la matrice qui a (dans l’ordre) v1 et v2 en colonne : ici 1 1
P = v1 v2 =
.
−1 1
C’est fini, (si on a bien fait les calculs) P −1 AP = ∆. Vérifiez si vous n’êtes pas sûrs ! Ici
1 1 −1
1
1 −1
=
P −1 = det P 1 1
2 1 1 et on peut vérifier à la main que
1
2

1 −1
1 1

1 2
2 1

1 1
−1 1

=

−1 0
.
0 3