Variations d’une fonction : Résumé de cours et méthodes
1 Méthode générale d’étude des variations d’une fonction :
Pour étudier les variations d’une fonction f sur un intervalle I :
• Dériver la fonction f .
• Factoriser si possible la dérivée f afin de l’exprimer sous la forme d’un produit ou d’un quotient d’expressions du premier ou du second degré.
• Etudier le signe de chaque terme de f (x) sur l’intervalle I. En déduire le signe de f (x) à l’aide d’un tableau de signes.
• Dresser le tableau de variations de f sur I en utilisant la propriété suivante :
PROPRIÉTÉ

f étant dérivable sur I, pour tout intervalle J inclus dans I :
• Si f (x) > 0, pour tout x de J, alors f est strictement croissante sur J.
(symbolisé par une flèche dans le tableau de variations)
• Si f (x) < 0, pour tout x de J, alors f est strictement décroissante sur J.
(symbolisé par une flèche dans le tableau de variations)
• Si f (x) = 0, pour tout x de J, alors f est constante sur J.
(symbolisé par une flèche −→ dans le tableau de variations)
Remarque : On utilise généralement un seul tableau pour l’étude du signe de la dérivée et les variations de f . (voir exemples)

2 Rappels sur les études de signe :
Pour étudier le signe de f (x), on factorise si possible f (x) sous la forme d’un produit ou d’un quotient d’expressions du premier ou du second degré dont on sait étudier le signe grâçe aux règles suivantes :
• Signe de ax + b (a = 0)
On détermine la valeur de x qui annule ax + b, puis on applique la règle : "signe de a après le 0".

−∝

x ax+b +∝

−b/a

signe de a

signe de (−a)

• Signe de ax2 + bx + c (a = 0) : on calcule la discriminant ∆ = b2 − 4ac (sauf cas évidents)
- Si ∆ < 0, on applique la règle : "toujours du signe de a".

−∝

x ax²+bx+c +∝
Signe de a

b
- Si ∆ = 0, on calcule la racine double : x1 = − .
2a
On applique alors la règle : "toujours du signe de a et s’annule pour x = x1 ".

−∝

x ax²+bx+c +∝

x1

Signe de