Complexe

Pages: 7 (1609 mots) Publié le: 27 janvier 2011
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C HAP. 3 - N OMBRES COMPLEXES F ORMES ALGÉBRIQUES
Objectif : définir un nouvel ensemble de nombres C, qui prolonge R en conservant les règles de calcul de R, et qui permette de traduire les transformations géométriques du plan par des calculs simples dans C.

3.1 Représentation d’un point du plan par un nombre complexe
→ → Définition : (O; − , − ) est un repère orthonormal direct du plan.u v – A tout point M de coordonnées (x, y), avec x et y réels, on associe un nombre complexe z = x + iy. −→ − On dit que M est le point image du complexe z et que OM est le vecteur image de z. – Réciproquement, tout nombre complexe est associé à un unique point image M de coordonnées cartésiennes (x, y) dans le repère → → (O; − , − ). u v −→ − On dit que z est l’affixe du point M et du vecteur OM .– Le plan est alors appelé plan complexe. → – L’axe des abscisses (O; − ) est appelé axe des réels, l’axe des ordonu − ) est appelé axe des imaginaires purs. → nées (O; v

3.2 Forme algébrique d’un complexe

Théorème 1 (admis). Il existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : – C contient l’ensemble des nombres réels. – L’addition etla multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul sont les mêmes que pour les réels. – Il existe un nombre complexe noté i tel que i2 = −1. – Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique z = x + iy , avec x et y réels. Exemples : z = −2 + 5i, z = −3i, z = √ 2 sont des nombres complexes.

Définition : L’écriture z = x + iy avec x et y réels estappelée forme algébrique du nombre complexe z. x est la partie réelle de z, notée Re(z), y est la partie imaginaire de z notée Im(z). Remarque : Soit z un nombre complexe de forme algébrique z = x + iy ( x et y réels). • Si y = 0, le nombre complexe est réel. • Si x = 0, le nombre complexe est dit imaginaire pur. Théorème 2 (Critère d’égalité dans C). Soit x, y, x et y des nombres réels, • x + iy = x+ iy équivaut à x = x et y = y . • x + iy = 0 équivaut à x = 0 et y = 0. Exercice 1 : Soit le nombre complexe z = x2 + y 2 − x + 2y + i(−2x + y + 1) (x et y réels). Soit M le point de → → coordonnées (x, y) dans le repère orthonormal direct (O; − , − ). u v 1. Déterminer l’ensemble E des points M tels que z est un nombre réel : M (z) ∈ E ⇐⇒ x2 +y 2 −x+2y = 0 ⇐⇒ (x−1/2)2 −(1/2)2 +(y+1)2 −12 = 0 ⇐⇒(x−1/2)2 +(y+1)2 = √ 5/4 ; donc E est le cercle de centre Ω(1/2; −1) et de rayon 5/2.

2. Déterminer l’ensemble F des points M tels que z est imaginaire pur : M (z) ∈ F ⇐⇒ −2x + y + 1 = 0 ⇐⇒ y = 2x − 1 ; donc F est la droite d’équation réduite y = 2x − 1

3.3 Opérations sur les nombres complexes
Définition : [Addition et multiplication] Soit z = x + iy et z = x + iy (x, y, x et y réels). Lasomme de z et de z est le complexe z + z = (x + x ) + i(y + y ). Le produit de z et de z est z.z = (xx − yy ) + i(xy + x y) En effet z.z = (x + iy)(x + iy ) = xx + ixy + ix y + i2 yy = xx − yy + i(xy + x y). Théorème 3. Dans C, un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

2 On peut écrire par exemple : z 2 + 3 = z 2 − 3i2 = (z − i2 = −1 ; i3 = −i ; i4 = 1 ; donc i5 = i etc.Propriété : Soient M d’affixe z et M d’affixe z des points du plan complexe. Alors z + z est l’affixe du point N tel que OM N M est un parallélogramme. √ √ 3i)(z + 3i).

3.3.1

Inverse d’un nombre complexe non nul

Définition : Deux nombres compexes z et z sont inverses l’un de l’autre s’ils vérifient : z × z = z × z = 1. 1 Théorème 4. Tout nombre complexe non nul z, admet un unique inverse, noté. z 1 x − iy Si z a pour forme algébrique z = x + iy, alors = 2 z x + y2 Pour tout nombre complexe non nul z = x + iy, on a : (x + iy)(x − iy) = x2 − i2 y 2 = x2 + y 2 . 1 1 x − iy x − iy Tout se passe comme si on faisait le calcul : = = = 2 . z x + iy (x + iy)(x − iy) x + y2 Exercice 2 : On pose z1 = 2 − 3i et z2 = 1 + 2i. On a alors : z1 + z2 = 2 + 1 + i(−3 + 2) = 3 − i ; z1 × z2 = (2 − 3i)(1...
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