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Terminale S

juin 2010

Amérique du Nord
1. Exercice 1 (4 points) L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i , j , k ) . Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives A(1, −2, 4), B(−2, −6, 5), C(−4, 0, −3). 1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. b. Démontrer que le vecteur n ( 1 ; − 1 ; − 1 ) est un vecteur normal au plan (ABC). c. Déterminer uneéquation du plan (ABC). 2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC). b. Déterminer les coordonnées du point O’, projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). 3. On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la droite (BC). Soit t le réel tel que BH = tBC . a. Démontrer que t =

BO. BC BC
2

.

b. En déduire le réel tet les coordonnées du point H. 2. Exercice 2 (3 points) Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 20 % des boules portent le numéro 1 et sont rouges. Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10 % sont rouges et les autres sont vertes. 1. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ? 2. On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge. Montrer que laprobabilité qu'elle porte le numéro 2 est 2 égale à . 7 3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On effectue n tirages successifs d'une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l'urne). a. Exprimer en fonction de n la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages. b. Déterminer l'entier n à partir duquel la probabilitéd'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages est supérieure ou égale à 0,99, 3. Exercice 3 (5 points, non spécialistes) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) d'unité graphique 2 cm. On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice. On considère les points A d'affixe i, B d'affixe −2i et D d'affïxe 1. On appelle Ele point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct. Soit f l’application qui à tout point M d’affixe z ( z ≠ i ) associe le point M’ d'affixe z’ définie par 2z − i z' = . iz + 1

1 3  1. Démontrer que le point E a pour affixe  + 1+ i ) .  2 2 (    2. Exprimer sous forme algébrique l’affixe du point D’ associé au point D par l'application f. 3. a. Démontrer que, pour tout nombrecomplexe z différent de i, ( z '+ 2i )( z − i ) = 1 .

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b. En déduire que pour tout point M d'affixe z ( z ≠ i ) : BM '× AM = 1 et u, BM ' = − u, AM + k × 2π où k est un entier relatif. 4. a. Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon

(

) (

)

2.

b. Enutilisant les résultats de la question 3. b, placer le point E’ associé au point E par l'application f. On laissera apparents les traits de construction. 5. Quelle est la nature du triangle BD’E’ ? 4. Exercice 3 (5 points, spécialistes) Partie A On cherche l'ensemble des couples d'entiers relatifs (x ; y) solutions de l'équation (E) : 16 x − 3 y = 4 . 1. Vérifier que le couple (1 ; 4) est une solutionparticulière de (E). 2. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). Partie B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) . On considère la transformation f du plan, qui à tout point M d'affixe z, associe le point M’ d affixe z’ définie par = 2 e
3 iπ 8

z.

On définit une suite de points (Mn) de la manière suivante : le point M0a pour affixe z0 = i et pour tout entier naturel n, M n+1 = f ( M n ) . On note zn l'affîxe du point Mn. Les points M0, M1, M2 et M3 sont placés sur la figure ci-dessous.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f. 2. On note g la transformation f f f f . a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g.
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