Complexes

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NOMBRES COMPLEXES

Au début du XVIème siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule donnant une solution de l'équation du 3ème degré x 3 + px = q : x=
3

q - q 2 + 4 p3 27 + 2

3

q + q 2 + 4 p 3 27 2

A la fin du XVIème siècle, le mathématicien Bombelli applique cette formule à l'équation x 3 - 15x = 4. Il obtient littéralement : x=
3

2 - 11 -1 + 2 + 11 -1
-1 .3

Cette écriture n'a, a priori, pas de sens puisqu'on ne sait pas ce que représente le symbole noté Mais Bombelli va plus loin. Il remarque, en utilisant les règles usuelles de calcul que :

(2 +

-1 = 2 + 11 -1 et x=2+

)

3

(2 -

-1 = 2 - 11 -1
-1 = 4

)

3

Si bien qu'il obtient finalement :

-1 + 2 -

Or, x = 4 est bien une solution de l'équation x 3 - 15x = 4.Une question naturelle s'est alors posée : peut-on légitimement calculer avec des symboles imaginaires comme ci-dessus ? C'est ainsi qu'est née la théorie des nombres complexes...

1. Introduction L’équation x + 7 = 6 n’a pas de solutions dans , mais elle en a dans un ensemble plus grand :  (x = –1). De même, l’équation 3x = 1 n’a pas de solutions dans , alors que dans un ensemble plus grand, par exemple, il y en a une : x = 1/3. Et puis, l’équation x 2 = 2 n’a pas de solutions dans  ; il faut chercher dans l’ensemble des nombres réels  pour en trouver. Bref, quand une équation n’a pas de solutions, une démarche naturelle (et historique) consiste à en chercher dans un ensemble plus grand. Au stade de nos connaissances actuelles, l’ensemble numérique le plus grand que l’on a rencontréest . Pourtant, l’équation x 2 + 1 = 0 n’a pas de solutions dans ... On va donc, dans ce chapitre « construire ? » ou plutôt imaginer un ensemble plus grand que  dans lequel l’équation x 2 + 1 = 0 possède des solutions. On l'appellera  : ensemble des nombres complexes. Le principal élément de  sera noté i (i comme imaginaire). Le nombre i est tel que i = –1 ! L’équation ci-dessus possèdealors deux solutions : x 2 + 1 = 0 équivaut à x 2 - i 2 = 0 soit (x – i)(x + i) = 0 donc x = i ou x = –i.
2

Nombres complexes

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

2. Construction du corps des nombres complexes 2.1 Définition Notons  l'ensemble des couples de réels :  = {(a, b) Î  ´ } Les éléments de  sont appelés des nombres complexes. Comme il n'est pas pratique detravailler avec des couples (notations un peu lourdes), nous allons voir (théorème 2.2.) que l'on peut noter les éléments de  de manière commode et faciliter ainsi les calculs.

2.2. Théorème L'ensemble  peut être muni de deux lois + et ´ qui prolongent les lois + et ´ de . L'ensemble  contient "une copie" de . Il existe dans  un élément, noté i, tel que i 2 = -1. Tout élément z de  s'écrit, demanière unique z = a + bi, où a et b sont des réels. Démonstration (Hors programme) On muni cet ensemble  des deux lois de composition interne suivantes : · la première, notée + , est définie par : (a, b) + (a', b') = (a + a', b + b') · la seconde, notée ´ , est définie par : (a, b) ´ (a', b') = (aa' - bb', ab' + a'b) Par exemple, avec (a, b) = (2, 5) et (a', b') = (-3, 4), on a : (2, 5) +(-3, 4) = (-1, 9) (2, 5) ´ (-3, 4) = (-26, -7) On vérifie facilement que (, + , ´) est un corps commutatif (c'est-à-dire : la loi + est associative, commutative, admet un élément neutre (0, 0) et tout élément (a, b) admet un opposé (-a, -b) ; la loi ´ est associative, commutative, distributive par rapport à la loi + , admet un élément neutre (1, 0) et tout élément (a, b) ¹ (0, 0) admet uninverse.) j : (, +, ´) ® (, + , ´) a a (a, 0) ¦(a) + ¦(a') = (a, 0) + (a', 0) = (a + a', 0) = ¦(a + a') ¦(a) ´ ¦(a') = (a, 0) ´ (a', 0) = (aa', 0) = ¦(aa') ¦(1) = (1, 0) De plus j est injectif : ¦(a) = ¦(a') Þ (a, 0) = (a', 0) Þ (a - a', 0) = (0, 0) Þ a = a'
On constate que si les secondes composantes sont nulles, alors les lois + et ´ se comportent comme les lois usuelles + et ´ sur...
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