Complexes

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 11 (2517 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 9 avril 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
Nombres complexes

1

Introduction historique
n

La notion de nombre complexe est li´e ` la r´solution des ´quations alg´briques ( e a e e e
i=0

ai xi = 0). D`s e

que n est sup´rieur ` 2, on a du mal ` trouver les solutions par des calculs simples et surtout rationnels e a a (faisant intervenir des racines carr´es, cubiques, etc.). Les babyloniens, apparemment, savaient ramener e lar´solution des ´quations quadratiques et bicarr´es ( ´quations de degr´ 4 o` n’interviennent que des e e e e e u puissances paires) au calcul de racines carr´es que par ailleurs ils savaient extraire 1 . e L’antiquit´ (grecque) ne d´passera jamais ce stade mais la technique adopt´e par les babyloniens ne e e e satisfait pas les penseurs grecs qui souhaitent des m´thodes plus rigoureuses. Onsuppose, sans√ ˆtre e en e √ certain, que c’est ce manque de rigueur qui a pouss´ ces derniers ` vouloir montrer que 2 et 5 sont e a des irrationnels 2 . Influenc´s sans doute par leurs pr´occupations g´om´triques de constructions ` la r`gle et au compas, e e e e a e la r´solution des ´quations se limite, pour les grecs, ` celles que l’on peut interpr´ter comme intersection e e a e de droites et decercles. Avec les indiens puis les arabes, l’extraction des racines carr´es devient une op´ration fondamentale. e e La th´orie de l’´quation du second degr´ va devenir pendant tout le moyen-ˆge le socle sur lequel vont e e e a s’appuyer les alg´bristes de toutes naionalit´s. On va essayer de calquer les m´thodes pour des degr´s e e e e sup´rieurs ` 2. e a Cardan remarque que les ´quations de degr´ 3peuvent avoir 3 solutions et celles de degr´ 4, 4 solutions. e e e En particulier il parvient ` montrer que la somme des racines de x3 + bx = ax2 + c est toujours ´gale a e a ` a. Il s’enhardit ` calculer formellement sur des expressions contenant des racines carr´es de nombres a e n´gatifs, alors que la plupart de ses contemporains r´pugnent encore ` utiliser les nombres n´gatifs. e e a e √ √ 3 3Un disciple de Cardan, Bombelli d´montre la relation [ 2 + −121 = 2 + −1]. et note avec soin e les r`gles de calcul des nombres complexes sous une forme presque moderne 4 : il consid`re les nombres e e ee complexes comme ”combinaisons lin´aires” ` coefficients positifs de 4 ´l´ments de base : ”piu” (+1), e a ”meno” (−1), ”piu de meno” (i) et ”meno de meno” (−i) ; il pose notamment que ”piu” et ”piude meno” ne peuvent s’ajouter, ce qui constitue, selon Bourbaki, la premi`re apparition de la notion de e base. De fa¸on plus moderne, on consid`re l’espace vectoriel R2 sur R et la bijection de R2 sur C d´finie c e e par (a, b) → a + ib, i ´tant d´fini par i2 = −1 e e

2
2.1

Diff´rentes ´critures des nombres complexes e e
´criture cart´sienne ou alg´brique e e e

Si z ∈ C, z s’´crit defa¸on unique z = a + ib. a = Re(z) est la partie r´elle de z et b = Im(z) sa e c e partie imaginaire. Exercice 1 Calculer (2 + 3i)(4 − i), (2 + i)2 , (3 + 4i)(3 − 4i) et (2i)2 . R´p. e 11 + 10i 3 + 4i 25 −4 C peut ˆtre consid´r´ comme un espace vectoriel de dimension 2 sur R dont une base est {1, i} e e e
1 voir 2 voir

m´thode dans l’exercice 1 du TD1 e TD1, exercice 2 3 voir TD1, exercice 3 4d’apr`s Bourbaki, p.97, qui l’a tir´ lui-mˆme d’un ouvrage de Bombelli e e e

1

axe des imaginaires 4 3 2 Im(z) 1 0 0 1 2 Re(z) 3 4 axe des r´els e 5 M(z)

A chaque nombre complexe z, correspond un point M du plan de coordonn´es (Re(z), Im(z)). z est appel´ e e l’affixe du point M. M (z) se lit ”M d’affixe z”. On ´tablit une correspondance bijective entre C et le plan e −→ − muni d’une origine (planvectoriel) : z = a + ib → M (z), OM = a(1, 0) + b(0, 1). Tout se passe comme si 1 ´tait le vecteur (1, 0) et i le vecteur (0, 1), les op´rations sur C sont les mˆmes que pour les vecteurs du e e e plan.

2.2

Module, conjugu´, inverse e
Re(z)2 + Im(z)2 .

D´finition 1 On d´finit le module d’un nombre complexe z par |z| = |Re(z)+Im(z)| = e e L’application (z1 , z2 ) → |z1 − z2 | est...
tracking img