Comportement de producteur

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Productivité totale des facteurs 1
Jean-Marie Harribey La productivité totale des facteurs (PTF) est une mesure du « résidu » de la croissance lorsqu’on décompose le taux de croissance obtenu à partir d’une fonction de production Cobb-Douglas à rendements constants. Elle est voisine de la productivité globale. La première est obtenue avec pour dénominateur la moyenne géométrique pondérée desfacteurs de production. La seconde avec une moyenne arithmétique.2 Q = F(K, L, t) (1) a 1-a par exemple : Qt =At Kt Lt (2) Définition La dérivée logarithmique par rapport au temps d’une variable x est égale au rapport de la dérivée de x par rapport au temps et de x : dLogx / dt = (dx/dt) / x = x’/x. Or cela est aussi égal au taux de croissance de cette variable que l’on note ici : x. Pour alléger lesnotations, on enlève les indices t dans (2). Log Q = Log A + a Log K + (1 - a) Log L dLogQ dLogA dLogK dLogL dt = dt +a dt +(1−a) dt Q = A + aK + (1 - a)L (3) A est le taux de croissance de la PTF ou « progrès technique » : A = Q - aK - (1 - a)L = Q - aK - (1 - a)L + aQ - aQ = aQ - aK + Q - aQ - L + aL = a(Q - K) + (1 - a) (Q - L) (4) = taux de variation de la productivité du capital pondéré parla part du capital dans le revenu + taux de variation de la productivité du travail pondéré par la part du travail dans le revenu. Ainsi on peut décomposer le taux de croissance économique comme la somme du taux de variation de la quantité de capital pondéré par la part du capital dans le revenu, du taux de variation de la quantité de travail pondéré par la part du travail, dans le revenu, du tauxde variation de la productivité du capital pondéré par la part du capital dans le revenu et du taux de variation de la productivité du travail pondéré par la part du travail dans le revenu : Q = aK + (1 - a)L + a(Q - K) + (1 - a) (Q - L) (3bis) Autre manière de procéder à partir de (1) : . Q= dQ= ∂Q dK + ∂Q dL + ∂Q dt ∂K dt ∂L dt ∂t Q= ∂Q K dK 1 + ∂Q L dL 1 + ∂Q 1 Q ∂K Q dt K ∂L Q dt L ∂t Q Siles rendements sont constants, en vertu du théorème d’Euler : Q= ∂QK+ ∂Q L ∂K ∂L
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.

. Pour un complément voir J.M. Harribey, « Valeur, prix de (re)production et développement économique », Document de travail n° 58 du CED, Université Bordeaux IV, 2001, http://harribey.ubordeaux4.fr/travaux/valeur/valeur-developpement.pdf. Voir aussi le dossier « La fonction de production dans l’analysenéo-classique », http://harribey.u-bordeaux4.fr/cours/fonctionproduction.pdf. 2 . Voir P. Dubois, « Production et productivité », in X. Greffe, J. Mairesse, J.L. Reiffers, Encyclopédie économique, Paris, Economica, 1990, tome 1, p. 817-846.

2 avec ∂Q=i et ∂Q=w , c’est-à-dire les taux de rémunération du capital et du ∂K ∂L travail ou encore leurs productivités marginales. Alors : ∂QK=aK a−1L1−aK=aQ∂K ∂Q L=(1−a)K a L1−a−1L=(1−a)Q ∂L D’où : 1 1 Q= Q=aQ K +(1−a)Q L+ ∂Q Q=aK +(1−a) L + ∂Q Q QK Q L ∂t K L ∂t − Q Q = aK + (1-a)L + (dQ/dt) / Q
. . . . .

(3 ter) (4bis)

Le taux de croissance de la PTF : (dQ/dt) / Q = Q - aK - (1-a)L Optique de la répartition Production = profits + salaires Q = iK + wL . 1 1 Q= dQ=iK di 1+iK dK K + wL dw w + wL dL 1 dt dt i dt dt dt L di 1+ dK 1 )+ wL(dw 1 + dL1) =iK(dt i dt K dt w dt L
.

1 1 1 Q = Q = iK (di 1+ dK K )+ wL(dw w + dL L) Q Q dt i dt Q dt dt = a (i + K) + (1- a) (w + L) = ai + aK + (1- a) w + (1- a) L = aK + (1- a) L + ai + (1- a) w

(5)

D’où : Q - aK - (1- a) L = ai + (1- a) w Le membre de gauche est la différence entre le taux de croissance économique et les taux de croissance des facteurs de production pondérés par leur partdans le produit total. Cette différence est le taux de croissance de la PTF sous sa forme primale. Le membre de droite représente le taux de croissance de la PTF sous sa forme duale. Remarques Si on compare les équations (3bis) et (5) Q = aK + (1 - a)L + a(Q - K) + (1 - a) (Q - L) (3bis) Q = aK + (1- a) L + ai + (1- a) w (5) alors : a(Q - K) + (1 - a) (Q - L) = ai + (1- a) w (6) qui n’est autre...
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