SESSION 2013

MPM2006

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ____________________

MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures ____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

___________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé d’un exercice et d’un problème indépendants.

1/5

Exercice : points à coordonnées entières sur une hyperbole
On munit le plan d’un repère orthonormé. On considère la conique H d’équation cartésienne : x2 − 13y 2 = 1. 1. Tracer l’allure de l’hyperbole H. On précisera les tangentes aux points d’ordonnée nulle ainsi que les branches infinies. 2. Ecrire un algorithme en français qui renvoie les éventuels couples d’entiers naturels (x, y) vérifiant : x2 − 13y 2 = 1 . (I) y 200 3. Programmer cet algorithme sur calculatrice et donner les couples d’entiers naturels (x, y) solutions du système (I). On ne demande pas d’écrire le programme sur la copie.

Problème : matrices «toutes-puissantes»
Notations et objectifs Dans tout le texte, K désigne le corps R ou C et p un entier naturel non nul. On note Mp (K) le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille p à coefficients dans K et Ip la matrice unité de Mp (K). On pourra confondre M1 (K) et K. Une matrice N de Mp (K) est dite nilpotente s’il existe un entier naturel r tel que N r = 0. Si M1 , . . . , Mk sont des matrices carrées, la matrice diag(M1 , . . . , Mk ) désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont M1 , . . . , Mk . Si E est un K-espace vectoriel, on note idE l’application identité sur E. Enfin, on note K[X] la K-algèbre des polynômes à coefficients dans K. On dit qu’une