CONCOURS COMMUN 2007
DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)

Vendredi 11 mai 2007 de 08h00 à 12h00

Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres correspondant à l'épreuve spécifique.

L’emploi d’une calculatrice est interdit

Barème indicatif : 10 points pour chaque problème

Premier problème
I. Etude d’une fonction
On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par :
−1 ⎧ 1 ⎪ f ( x ) = 2 e x si x ≠ 0 x ⎨ ⎪f (0) = 0 ⎩ 1. Etudier la continuité à gauche et à droite, la dérivabilité à gauche et à droite de f en 0.

2. Etudier les limites et variations de f (à résumer dans un tableau) ; préciser les branches infinies.
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3. Etudier la convexité ; préciser les points d’inflexion éventuels. 4. Tracer la courbe représentative ( C ) de cette fonction relativement à un repère orthonormal (O, i, j ) (unité : 2 cm). On donne les valeurs approchées suivantes : e −2 On précisera les points remarquables utilisés.
0,135 , e −1 0, 36 , e

2, 72 .

II. Calcul d’aires
5. Etant donné un nombre réel h, h ∈ ]0,1[ , déterminer l’aire A (h ) de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe ( C ) et les droites d’équations x = h et x = 1.

6. En déduire l’aire de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe ( C ) , la droite d’équation x = 1 et l’axe des ordonnées, c’est à dire lim A (h ) . + h →0

III. Résolution d’une équation différentielle
7. Résoudre l’équation différentielle ( E ) x 2y ′ + ( 2x − 1) y = 0 sur