CONCOURS GÉNÉRAL SÉNÉGALAIS

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10 1 CGS 02 01 Durée : 05 heures Toutes séries réunies

SESSION 2010

CLASSES DE PREMIÈRE

MATHEMATIQUES
PROBLEME 1 (06 Points)

Soit O un point de l’espace muni d’une unité de longueur, S la sphère de centre O et de rayon 1. Soit A, B et C des points de S tels que C n’appartient pas au cercle de centre O passant par A et B. On considère : I le milieu de [AB] et J le point de (OI) tels que les droites (OA) et (AJ) sont perpendiculaires. K le milieu de [AC] et L le point de (OK) tels que les droites (OA) et (AL) sont perpendiculaires. On note a = BOC, b = COA, c =AOB,α = JAL 1. Exprimer OI, OJ, OK, OL 2. a) Exprimer JL2 en développant : i. ii. JA JO AL OL 0,25pt 0,25pt sin cos α 1,5pts 01pt 1,5pts et IK en fonction des lignes trigonométriques de 1,5pts

b) En déduire que cos JOL = cos cos

3 En considérant le triangle OIK, montrer que cos JOL 4 Montrer alors que cos(a) =cos(b)cos(c)+sin(b) sin(c)cos(α)

PROBLEME II

(14 Points)

L’objet du problème est d’étudier certaines propriétés des fonctions numériques f d’une variable réelle vérifiant les conditions suivantes : (i) (ii) f est définie sur]-1,1[ Il existe un triplet de nombres réels (a, b, c) et une fonction numérique θ définie sur ]-1,1[ sauf peut-être en 0 tels que : x ]-1,1[ \ 0 , f(x) = a+bx + cx2 +x2θ(x) 0

* *

θ x

.../... 2

MATHEMATIQUES

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10 1 CGS 02 01 CLASSES DE PREMIERE

Dans tout ce qui suit, on posera I =] -1, 1[et on désignera par Mac2 l’ensemble des fonctions définies cidessus. I - ETUDE DE QUELQUES EXEMPLES 1) Montrer que l’ensemble Mac2 est non vide. 0,25pt 2 2) Prouver que toute fonction polynôme est un élément de l’ensemble Mac (On pourra distinguer le cas des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2 du cas des fonctions polynômes de degré strictement supérieur à 2) 01pt 3) Soit u la fonction de IR vers IR définie par : u x . 0,25pt 0,5pt

a) Vérifier que (1-x + x2) (1 + x) = 1 + x3 pour tout x