Conflits collectifs de travail

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 16 (3844 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 2 avril 2010
Lire le document complet
Aperçu du document
Séries entières

9-1

Sommaire
1. Séries Entières, Convergence
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Série entière . . . . . . . . . . . . . . Rayon de convergence . . . . . . . . Disque ouvert de convergence . . . . Recherche du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3

3.3. Développements usuels . . . . . . . . . . . .

5

1 4. Développement en S.E., Somme de S.E.
4.1. Fonctiondéveloppable en série entière . . . 4.2. Développement en série entière . . . . . . . 4.3. Sommation de certaines séries entières . . .

7
7 8 8

2. Opérations sur les Séries Entières
2.1. Somme de 2 séries entières . . . . . . . . . 2.2. Produit par un scalaire . . . . . . . . . . . .

4
4 4

5. Exponentielle complexe
5.1. Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . 5.2. Cohérence decette définition . . . . . . . . .

9
9 9

3. Somme d’une Série Entière
3.1. Intervalle de convergence, continuité . . . . . 3.2. Dérivation et intégration terme à terme . . .

4 6. Compléments
4 4

9
9 9

6.1. Avec Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Les mathématiciens du chapitre . . . . . . .

Une série de fonctions est une série du type : fn (x). Nous n’avons pas ànotre programme d’étude générale des séries de fonctions. Nous avons cependant à étudier deux types de séries de fonctions que sont les séries entières et les séries de Fourier. On peut dire de toutes façons, qu’à x fixé, il s’agit d’une série numérique. Ainsi, l’ensemble des x pour lesquels la série fn (x) converge sera l’ensemble de définition de la somme. Cette somme est donc une fonction de x.Se posent alors les problèmes usuels, cette fonction est-elle continue, dérivable ?...

1.
1.1. Série entière

Séries Entières, Convergence
an zn .

Définition : Une série entière de la variable z est une série de la forme : avec z ∈ K (K = R ou C) et an ∈ K (K = R ou C).

Exemple : Un polynôme est un cas très particulier et sans intérêt de série entière. Par contre, une série géométriqueest le premier cas de série entière rencontré (sans le dire) dans le cadre des séries géométriques. Pour une valeur de z fixée à z0 par exemple, la série an zn est une série numérique. 0 Pour les valeurs de z telles que la série converge, on définit donc, point par point, une fonction de la variable z
+∞

par : f (z) =
n=0

an zn .

Un des objets de ce chapitre est d’étudier des propriétésde ces fonctions. Quand la variable est réelle, on va plutôt la noter x que z.
+∞

Exemple :
+∞ n=0

1 1 zn est donc une série entière où an = 2 . n2 + 1 n +1

Mais
n=0

1 2n 1 z est aussi une série entière où an = si n est pair et an = 0 si n est impair... (2n)! n!

1.2.

Rayon de convergence
an zn une série entière, |an | rn converge . an zn .

Théorème : Soit

alors, ilexiste R un réel positif ou « +∞ » tel que : R = sup r, r ∈ R+ , R est appelé le rayon de convergence de
Cours de Spé T.S.I.

c Christophe Caignaert – Lycée Colbert – 59200 Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr

9-2

Séries entières

Démonstration : I = r, r ∈ R+ , |an | rn converge est un intervalle de R+ contenant 0, soit il est borné et admet alors une borne supérieure, soit il n’est pasborné et R = +∞.
+∞

Exemple : Cherchons le rayon de convergence de
n=0

zn

Soit r

0, on sait que

r ne converge que si r < 1 et sup [0, 1[ = 1. On a donc R = 1.
n

On reviendra rapidement sur les moyens de calcul pratique de ce rayon de convergence. Signalons qu’il s’agit d’une notion fondamentale dans l’étude des séries entières.

1.3. Disque ouvert de convergence
Définition: Soit an zn une série entière, R son rayon de convergence. La boule ouverte de centre O et de rayon R, ou le plan complexe si R = +∞, est appelée disque ouvert de convergence ou intervalle ouvert de convergence selon que la variable est complexe ou réelle. Ce disque est vide si R = 0. Cette notion de disque ouvert de convergence se justifie par le théorème suivant : Théorème : Soit • si |z0 | <...
tracking img