Exo7
Suites

1 Convergence
Exercice 1 Montrer que toute suite convergente est bornée.
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[000506]

Exercice 2 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est constante à partir d’un certain rang.
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[000519]

Exercice 3 Montrer que la suite (un )n∈N définie par un = (−1)n + n’est pas convergente.
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[000507]

1 n

Exercice 4 Soit (un )n∈N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes : • Si (un )n converge vers un réel alors (u2n )n et (u2n+1 )n convergent vers . • Si (u2n )n et (u2n+1 )n sont convergentes, il en est de même de (un )n . • Si (u2n )n et (u2n+1 )n sont convergentes, de même limite , il en est de même de (un )n .
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[000505]

Exercice 5 Soit q un entier au moins égal à 2. Pour tout n ∈ N, on pose un = cos 1. Montrer que un+q = un pour tout n ∈ N. 2. Calculer unq et unq+1 . En déduire que la suite (un ) n’a pas de limite.
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[000524]

2nπ . q

Exercice 6 1 1 Soit Hn = 1 + + · · · + . 2 n 1. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n > 0 : 2. En déduire que ln(n + 1) ≤ Hn ≤ ln(n) + 1. 3. Déterminer la limite de Hn . 4. Montrer que un = Hn − ln(n) est décroissante et positive. 1 1 ≤ ln(n + 1) − ln(n) ≤ . n+1 n

1

5. Conclusion ?
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[000520]

Exercice 7 On considère la fonction f : R −→ R définie par f (x) = x3 2x 1 + + 9 3 9

et on définit la suite (xn )n≥0 en posant x0 = 0 et xn+1 = f (xn ) pour n ∈ N. 1. Montrer que l’équation x3 − 3x + 1 = 0 possède une solution unique α ∈]0, 1/2[. 2. Montrer que l’équation f (x) = x est équivalente à l’équation x3 − 3x + 1 = 0 et en déduire que α est l’unique solution de l’équation f (x) = x dans l’intervalle [0, 1/2]. 3. Montrer que la fonction f est croissante sur R+ et que f (R+ ) ⊂ R+ . En déduire que la suite (xn ) est croissante. 4. Montrer que f (1/2) < 1/2 et en déduire que 0 ≤ xn < 1/2 pour tout n ≥ 0.