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Devoir à la maison corrigé Méthode simplexe Exercice 1 A) Résoudre avec la méthode du simplexe primal le problème suivant :
Max z  2 x1  x 2  3x 3 s.c.  x  2 x  x  6 1 2 3   x1  x 2  24  ( P1 )   x1  x 2  x 3  9  x1 , x 2 , x3  0   

Réponse :
#1 x1 x2 x3 e1 e2 e3 e1 -1 2 1 1 0 0 e2 1 1 0 0 1 0 e3 1 -1 1 0 0 1 z -2 -1 -3 0 0 0 x3 entre et e1 sort  Li*=L1← L1 / 1. Ensuite, L2← L2 - 0 × L1, L3← L3 - 1 × L1, Lz← Lz + 3 × L1 #2 x1 x2 x3 e1 e2 e3 -1 2 1 1 0 0 x3 0 e2 1 1 0 1 0 0 e3 2 -3 -1 0 1 0 z -5 5 3 0 0 x1 entre et e3 sort  Li*=L3← L3 / 2. Ensuite, L1← L1 + 1 × L3, L2← L2 - 1 × L3, Lz← Lz + 5 × L1 b 6 24 9 0

6 9

L1 L2 L3 Lz

b 6 24 3 18

24 3/2

#3 x1 x2 x3 e1 e2 e3 b 0 x3 1/2 1 1/2 0 ½ 15/2 0 e2 5/2 0 1/2 1 -½ 45/2 1 -3/2 0 - 1/2 0 ½ 3/2 x1 0 z -5/2 0 1/2 0 5/2 51/2 x2 entre et e2 sort  Li*=L2← L2 × 2/5. Ensuite, L1← L1 – 1/2 × L2, L3← L3 + 3/2 × L2, Lz← Lz + 5/2 × L2

15 9 -

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#4 x3 x2 x1 z

x1 0 0 1 0

x2 0 1 0 0

x3 1 0 0 0

e1 2/5 1/5 - 1/5 1

e2 - 1/5 2/5 3/5 1

e3 3/5 - 1/5 1/5 2

b 3 9 15 48

Solution de Base Réalisable (SBR) optimale (ligne z  0)
 x3  3  e1  0     x B   x 2   9 , x L  e2   0 et      x1  15 e3  0        

z *  48

Remarque 1 : les commentaires entre les tableaux sont facultatifs si l’étudiant peut garantir un calcul sans fautes. Dans le cas contraire, un minimum de commentaires permet de montrer une bonne compréhension de la méthode. Remarque 2 : l’étudiant peut vérifier l’exactitude de son calcul en recalculant z* en * * * revenant à son expression : z *  2 x1  x 2  3x 3  2  15  9  3  3  48 (ok)

B) Résoudre avec les méthodes du simplexe en deux phases et du simplexe dual le problème suivant :
Max z  2 x1  x 2  x3 s.c.  x  2 x  2 x  10 1 2 3    x1  4 x3  2 (  x1  4 x3  2) ( P2 )   x1  x 2  2 x3  4  x1 , x 2 , x3  0   

Méthode 1 :
Simplexe