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Terminale S

Corrigé du D.M. de Mathématiques n° 7
Exercice 79 p 207
Juliette débute un jeu dans lequel elle joue un certain nombre de parties. On note, pour n entier naturel non nul : G n l’événement « Juliette gagne la n-ième partie » Pn l’événement « Juliette perd la n-ième partie »

Partie A
1. Juliette a autant de chances de gagner ou de perdre la première partie donc p ( G1 ) = 0,5 .Si Juliette gagne une partie, la probabilité qu’elle gagne la partie suivante est 0,6 donc p G1 ( G 2 ) = 0, 6 .
Si Juliette perd une partie, la probabilité qu’elle perde la partie suivante est égale à 0,7 donc p P1 ( P2 ) = 0, 7 . On en déduit la probabilité de l’événement contraire :

p P1 ( G 2 ) = 1 − p P1 ( P2 ) = 1 − 0, 7 = 0,3

donc

p P1 ( G 2 ) = 0,3

P1 et G1 forme unepartition de l’univers donc, en utilisant la formule des probabilités totales on a : p ( G 2 ) = p ( G1 ) × pG1 ( G 2 ) + p ( P1 ) × p P1 ( G 2 ) = 0,5 × 0, 6 + 0,5 × 0,3 = 0, 45 donc : p ( G 2 ) = 0, 45 2. p ( P2 ) = 1 − p ( G 2 ) = 1 − 0, 45 = 0,55 donc p ( P2 ) = 0,55

Partie B
On pose, pour tout entier naturel non nul, x n = p ( G n ) et y n = p ( Pn ) 1. pG n ( G n +1 ) = 0,6 donc pG n ( Pn +1 ) =1 − pG n ( G n +1 ) = 1 − 0, 6 = 0, 4

p Pn ( Pn +1 ) = 0, 7 donc p Pn ( G n +1 ) = 1 − p Pn ( Pn +1 ) = 1 − 0, 7 = 0,3 .
Donc : p G n ( Pn +1 ) = 0, 4 et p Pn ( G n +1 ) = 0, 3

1

2. Pn et G n forme une partition de l’univers donc, en utilisant la formule des probabilités totales on a : p ( G n +1 ) = p ( G n ) × pG n ( G n +1 ) + p ( Pn ) × p Pn ( G n +1 ) = 0, 6 x n + 0,3 yn

p ( Pn+1 ) = p ( G n ) × pG n ( Pn +1 ) + p ( Pn ) × p Pn ( Pn +1 ) = 0, 4 x n + 0, 7 y n donc :
x n +1 = 0, 6 x n + 0,3 y n et y n +1 = 0, 4 x n + 0, 7 y n

3. Pour tout entier naturel n, on pose : v n = x n + y n et w n = 4x n − 3y n a) v n +1 = x n +1 + y n +1 = 0, 6x n + 0, 3y n + 0, 4x n + 0, 7y n = x n + y n = v n pour tout n de
∗ donc la suite ( vn ) est constante et,

pour tout entiernaturel n non nul, v n = v1 = 1 . b) Pour tout entier naturel n non nul, w n +1 = 4x n +1 − 3y n +1 = 4 ( 0, 6x n + 0,3y n ) − 3 ( 0, 4x n + 0, 7y n ) = 1, 2x n − 0,9y n = 0,3 w n Donc la suite ( w n ) est géométrique de raison 0,3 et de premier terme w1 = 0,5 . Le terme général de la suite ( w n ) est w n = 0,5 × 0,3n −1
4. a) On en déduit l’expression de x n en fonction de n :

 vn = x n + yn yn = vn − x n  yn = vn − x n on a donc ⇔ ⇔    w n = 4x n − 3y n 7x n = w n + 3v n  w n = 4x n − 3 ( v n − x n ) 7x n = 0,5 × 0,3n + 3 donc x n =
1 3 0, 5 × 0,3n + 7 7

(

)

b) 0 < 0,3 < 1 donc lim 0,3n = 0 donc lim x n =
n →+∞ n →+∞

3 7

Exercice 80 p 208
1. a) On tire un jeton dans un sac qui en contient trois : deux noirs et un blanc. Les trois jetons ont la mêmeprobabilité de sortir. 1 On note E1 l’événement « le jeton tiré est blanc » donc p ( E1 ) = . 3 Si E1 est réalisé alors le deuxième sac contiendra deux jetons blanc et un noir et la probabilité de tirer un jeton blanc sera de
2 2 donc p E1 ( E 2 ) = . 3 3

2

Si E1 est réalisé alors le deuxième sac contiendra un seul jeton blanc et deux noirs et 1 1 la probabilité de tirer un jeton blanc sera dedonc p E1 ( E 2 ) = . 3 3 La formule des probabilités totales permet d’écrire : 1 2 1 2 4 4 p ( E 2 ) = p ( E1 ) × p E1 ( E 2 ) + p E1 × p E1 ( E 2 ) = × + × = donc p ( E 2 ) = 3 3 3 3 9 9

( )

b) Pour tout entier naturel k compris entre 1 et n on note p k = p ( E k ) alors p k +1 = p ( E k +1 ) = p ( E k ) × p E k ( E k +1 ) + p E k × p E k ( E k +1 ) = 1 1 On a donc bien : p k +1 = p k + 3 32. Etude d’une suite. On note ( u k ) la suite définie par u1 = 1 1 1 et u k +1 = u k + pour tout entier k ≥ 1 . 3 3 3 1 a) On considère la suite ( vn ) définie par v k = u k − . 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Pour tout k ≥ 1 , on a v k +1 = u k +1 − = u k + − = u k − =  u k −  = v n 2 3 3 2 3 6 3 2 3

( )

2 1 1 1 p k + (1 − p k ) = p k + 3 3 3 3

donc la suite est géométrique de raison 1 1...
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