Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie novembre 2003
Exercice 1 Commun tous les candidats 4 points

1. L’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale est np. Ici 10 E(S n ) = np = 10 donc p = . Si S n est la variable aléatoire totalisant le nombre n 10 n−k 10 k 1− pour 0 d’accidents, on a P(S n = k) = n p k (1 − p)k = n k k n n k n. 10 n . 2. a. On en déduit que [P(S n = 0)] = n p 0 (1 − p)n = 1 − 0 n En supposant n > 10, on obtient, en prenant le logarithme ln [P(S n = 0)] = 10 10 ln 1 − ln 1 − −10 10 n n × = n ln 1 − . = −10 × 1 −10 n −10 n n 10 ln(1 + h) En posant h = − , on a lim h = 0 et on sait que lim = 1. n→+∞ n h→0 h Donc lim ln [P(S n = 0)] = −10 et par continuité de la fonction exponentielle : lim P(S n = 0) = e−10 . n→+∞ n k+1 n→+∞

b. P(S n = k + 1) =

10 n

k+1

1−

10 n

n−k−1

=

10 10 k+1 10 n−k−1 n − k n 10 k 10 n−k n! n ×n = 1− 1− = k (k + 1)!(n − k − 1)! n n k +1 n n 1 − 10 × n n n −k 10 P (S n = k) × × . n − 10 k + 1 n −k c. On a lim = 1 (problème si k = n !). n→+∞ n − 10 10k 10 10k , alors lim P (S n = k + 1) = e−10 × = Si lim P (S n = k) = e−10 n→+∞ n→+∞ k! k! k + 1 10k+1 e−10 pour 0 k + 1 n. (k + 1)! d. • La propriété est vraie pour k = 0 (démontré au a.) • Supposons que la propriété soit vraie pour un rang k n ; 10k+1 – soit k+1 n et on a démontré au c. que lim P (S n = k + 1) = e−10 n→+∞ (k + 1)! et la relation est vraie au rang k + 1, – soit k + 1 > n et la relation est vraie. 10k . Conclusion : pour tout k n, alors lim P (S n = k) = e−10 n→+∞ k! 10k 3. On considère donc que P(S n = k) ≈ e−10 . k! On a donc P(S n 3) = 1−P (S n = 0)−P (S n = 1)−P (S n = 2) ≈ 1−e−10 −10e−10 − 50e−10 ≈ 1 − 61e −10 ≈ 0,997 231.

Exercice 2 : enseignement obligatoire − − → −→ − − − → 1. a. On a AB = (−3 ; 0 ; 5), et M(x : y ; z) ∈ (AB) ⇐⇒ AM = λAB ⇐⇒   x = 3 − 3λ y = 0  z = 10 + 5λ

Terminale S

2.

b. Si M(x : y ; z) ∈ (AB) et M coupe l’axe des abscisses en E, alors zE = 10 + 5λ = 0 ⇐⇒ λ = −2 ; d’o x = 9. Donc E(9 ; 0