Chapitre 4 : Problème du flot maximum

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Chapitre 4 : Problème du flot maximum
1. Définitions
Réseau de transport :
Un réseau de transport est un graphe G=(X, U) orienté, sans boucle, où chaque arc est associé à un nombre c(u) 0, appelé "capacité" de l'arc u. En outre, un tel réseau vérifie les hypothèses suivantes.
 Il existe un seul nœud s qui n'a pas de prédécesseurs, tous les autres en ont au moins un. Ce nœud est appelé l'entrée du réseau, ou la source.
 Il existe également un seul nœud p qui n'a pas de successeurs, tous les autres en ont au moins un. Ce nœud est appelé la sortie du réseau, ou le puits.
On note un réseau de transport par R = (X, U, C) où C = {C(uj) / uj

U}

Exemple :

.

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Fig.1.
Flot :

Un flot dans un réseau de transport est une fonction qui associe à chaque arc uj (j=1, 2, …, m) une quantité
(uj ) qui représente la quantité de flot qui passe par cet arc, en provenance de la source et en destination du puits. Un flot doit respecter la règle suivante : la somme des quantités de flot sur les arcs entrants dans un nœud
(autre que s et p) doit être égale à la somme des quantités de flot sur les arcs sortants de ce même nœud.
En d'autres termes, la quantité totale de flot qui entre dans un nœud est égale à la quantité totale de flot qui en sort. Formellement :
Un flot sur un graphe G= (X, U) est un vecteur ligne est réalisable s’il satisfait aux conditions suivantes :
*
+
- ( )
- ( ) c(uj) ,
- en tout sommet i

, (

)

(

)

(

)-

à m composantes. Ce flot

, la 1ère loi de Kirchoff est vérifiée (loi de conservation aux nœuds) :
∑

∑
( )

()

est la quantité de flot ou flux sur l’arc j.
- En particulier,
∑
( )

∑
( )

La quantité représente le volume total que met en circulation dans le réseau le flot réalisable , elle est appelée : valeur du flot.
Un flot est dit de valeur maximale s’il maximise cette valeur

Module : Théorie des graphes

dans l’ensemble des flots réalisables.

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Flot