Coques

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´ METHODES ANALYTIQUES

1
1.1

Bilan
Nombre d’inconnues, nombre d’´quations e

En ´lasticit´ lin´aire, et dans l’hypoth`se des petites perturbations, le nombre e e e e d’inconnues dans un probl`me de m´canique des milieux continus est ´gal ` e e e a 15. En effet, l’objectif est de d´terminer en chaque point du solide le vece → teur d´placement − (trois composantes), le tenseur desd´formations (six e u e composantes ind´pendantes) et le tenseur des contraintes σ (six composantes e ind´pendantes). e Pour r´soudre un tel probl`me, nous devons donc disposer de 15 ´quations. e e e Ces ´quations sont les trois ´quations d’´quilibre : e e e − → → − div(σ) + f v = 0 (1)

les six ´quations de compatibilit´ des d´formations (qui assurent que les e e e d´formations d´rivent d’un champ ded´placement sous la forme ij = 1 (ui,j + e e e 2 uj,i ) obtenues par le syst`me : e −→ − − → − → ∆( ) + grad(grad(tr( ))) = grad(div( )) + grad(div( ))t (2)

et les six ´quations de comportement reliant les contraintes aux d´formations e e sous la forme : σ = 2µ + λtr( )I o` le tenseur I repr´sente le tenseur identit´. u e e 1 (3)

On constate que les ´quations sont en fait des ´quationsdiff´rentielles. Leur e e e int´gration se fera donc ` une constante pr`s, qui sera d´termin´e ` l’aide e a e e e a des conditions aux limites en pression ou en d´placement : e − = − sur ∂Ω → → u U U − → − = → sur ∂Ω → − t = σ. n T T

(4)

1.2

M´thodes de r´solution e e

Il existe beaucoup de m´thodes de r´solution des ´quations pr´c´dentes. Toue e e e e tefois, les m´thodes dites ”semi-inverses”pr´sentent l’avantage de fournir des e e expressions analytiques pour les champs de d´placement, de d´formations et e e de contraintes dans le solide. Ce chapitre est consacr´ aux m´thodes semie e inverses, dans le cas de mat´riaux homog`nes, au comportement ´lastique e e e lin´aire et isotrope. De plus, nous n´gligerons les effets d’acc´l´ration (r´solution e e ee e statique). En effet, ces hypoth`sespermettent de mettre en place des ´quations e e relativement simples ` r´soudre. a e Il existe existe deux grandes m´thodes de r´solution semi-inverse de ce type de e e probl`mes. La premi`re, dite ”r´solution en d´placements”, consiste ` ´crire e e e e ae toutes les conditions que doivent satisfaire les d´placements dans la structure, e pour en d´duire une solution. La seconde, dite ”r´solutionen contraintes”, e e consiste ` ´crire ces ´quations ` l’aide du tenseur des contraintes. ae e a

2
2.1

R´solution en d´placements e e
´ Equations de Lam´-Clapeyron e

Lorsque l’on souhaite obtenir un champ de d´placements dans le mat´riau, e e on traite un probl`me ` trois inconnues (les trois d´placements dans les trois e a e directions). Pour cela, on dispose de trois ´quations, quisont les ´quations e e d’´quilibre que l’on va formuler en d´placements en utilisant la loi de compore e tement et le d´finition des d´formations. En effet, le champ de d´formation e e e que l’on d´duira du champ de d´placement respectera par d´finition les six e e e ´quations de compatibilit´. L’ensemble des ´quations pr´c´dentes nous pere e e e e met d’exprimer la divergence de l’´tat de contraintesous la forme : e

2

− → − → − → − → → → div(σ) = µ( ∆(− ) + div(grad(− )t )) + λdiv(tr( )I) u u −→ − − − → → = µ ∆(→) + (λ + µ)grad(div(− )) u u

(5)

La r´solution en d´placements d’un probl`me de m´canique des milieux contie e e e nus se fait donc ` l’aide des trois ´quations diff´rentielles dites de ”Lam´a e e e Clapeyron” ou de ”Navier” : −→ − − → − − → − → → µ ∆(→) + (λ +µ)grad(div(− )) + f v = 0 u u (6)

La r´solution de ces ´quations est surtout pratique lorsque les conditions aux e e limites (qui servent ` d´terminer les constantes d’int´gration) sont exprim´es a e e e en d´placement. Si des conditions sont exprim´es en contraintes, alors il faut e e calculer le tenseur des contraintes ` partir du champ de d´placements, puis a e appliquer ces conditions pour...
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