Corection bac pondichery 16 avril 2008

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Correction du baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2008
E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 1. 4 points

a. x 1 ⇒ ex e1 ou encore ex e ⇒ ex > 1 (par croissance de la fonction exponentielle). f est donc bien définie pour x 1. H est bien définie pour x 1 comme intégrale d’une fonction continue car quotient de deux fonctions continues sur [1 ; +∞[, le dénominateur ne s’annulant pas comme on l’avu précedemment. c. Sur [1 ; +∞[, x > 0 et ex − 1 > 0 (voir a.), donc la fonction f est positive sur l’intervalle [1 ; x]. H (x) est donc égale à la mesure (en unités d’aire) de la surface limitée par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites verticales d’équation X = 1 et X = x. H (3) est donc égale à la mesure (en unités d’aire) de la surface limitée par l’axe des abscisses, la courbe C etles droites verticales d’équation x = 1 et x = 3. e−x x × e−x x =x× . = −x x a. Si x > 0, l’image f (x) peut s’écrire x e − 1 e (e − 1) 1 − e−x b. En posant :   u(x) = x u ′ (x) = 1 d’où , on peut toutes e−x ′  v (x) = v(x) = ln (1 − e−x ) −x 1−e les fonctions étant continues sur [1 ; 3], intégrer par parties :
3 1

b. On sait que H ′ (x) = f (x) : H est la primitive de f qui s’annule pour x= 1.

2.

f (x) dx = x ln 1 − e−x

3 1− 3 1

3

1

ln 1 − e−x dx =

3ln 1 − e−3 − ln 1 − e−1 −

ln 1 − e−x dx.

c. On a 1 x 3 ⇐⇒ −3 −x −1 ⇐⇒ e−3 e−x e−1 ⇐⇒ −e−1 −e−x −e−3 ⇐⇒ 1 − e−1 1 − e−x 1 − e−3 . Par croissance de la fonction ln, on a donc : ln 1 − e−1 ln 1 − e−x ln 1 − e−3 .

d. En intégrant les trois fonctions de l’inégalité précédente sur [1 ; 3], on obtient :
3 1ln 1 − e−1 dx
3 1

3

1

ln 1 − e−x dx

3

1

ln 1 − e−3 dx soit :

2ln 1 − e−1

ln 1 − e−x dx
3

2ln 1 − e−3 . ln 1 − e−x dx −2ln 1 − e−1 . Donc fi-

On a donc −2ln 1 − e−3 ln 1 − e−3 − ln 1 − e−1

nalement en utilisant le résultat de la question b. :
3



1

f (x) dx
1

3ln 1 − e−3 − 3ln 1 − e−1 . 5 points

E XERCICE 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignementde spécialité Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances. Partie A Partie B

A. P. M. E. P.

Correction du baccalauréat S

1.

a. • |z A |2 = 3 + 1 = 4 = 22 , donc |z A | = 2. 3 1 −5iπ On a donc z A = 2 − − i = 2 cos −5π + i sin −5π = 2e 6 . 6 6 2 2 Le module est égal à 2 et un argument à • De même, |zB | = 2 et zB = 2
−i π 3 −5π 6 .

3 1 −i = 2 cos − π + i sin −π 3 3 2 2

=

2e . Le module est égal à 2 et un argument à − π . 3 • zC = 2 3 1 π + i = 2e 6 . 2 2 Le module est égal à 2 et un argument à π . 6

3 1 2π • zD = 2 − + i = 2e 3 . Le module est égal à 2 et un argument à 2 2

2π 3 .

b. En utilisant le cercle centré en O de rayon 2 et en traçant des médiatrices :

D

2 E C

+
1 → − v

+
J O → − u1 2 F

−2

−1 −1

+
A

+−2 2.
Pondichéry

B

c. A et C d’une part, B et D d’autre part ont leurs coordonnées opposées : ils sont donc symétriques autour de O, donc ABC D est un parallélogramme ; Les arguments de B, C et D sont respectivement − π , π et 2π , donc les 3 6 3 droites (OB) et (OC ) sont perpendiculaires, de même que (OC ) et (OD). Le parallélogramme ABC D a ses diagonales perpendiculaires : c’est unlosange : Comme [AC ] et [BD] sont des diamètres le quadrilatère ABC D est un rectangle. Conclusion : ABC D est un carré. a. Dans la rotation r le point B, un point et son image sont les trois sommets d’un triangle équilatéral (triangle isocèle ayant un angle au sommet 2
16 avril 2008

A. P. M. E. P.

Correction du baccalauréat S

de π ). 3 Pour construire F il suffit de construire le cercle decentre B et de rayon BC et le cercle de centre C et de rayon C B. De même pour E , on trace le cercle de centre B et de rayon B A et le cercle de centre A et de rayon AB. b. On a z ′ − 1 − i 3 = e− 1 3 z′ = 1 − i 3 + −i 2 2 z′ = 1 − i 3 +
i 3 2

z − 1−i 3

⇐⇒ ⇐⇒

z − 1−i 3

3 3 3 3 1 1 −i +i + . z − +i 2 2 2 2 2 2 z′ = 3 1 −i z + 2. 2 2

c. En remplaçant z par − 3 − i, on obtient : 1...
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