[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 11 décembre 2011

Enoncés

1

Nombres complexes
Nombres complexes
Exercice 1 [ 02025 ] [correction] z+1 Soit z ∈ U \ {1}. Montrer que z−1 ∈ iR. Exercice 2 [ 02026 ] [correction] Soient P = {z ∈ C | Imz > 0}, D = {z ∈ C | |z| < 1} et f : C\ {−i} → C définie par z−i f (z) = z+i a) Montrer que tout élément de P à son image par f dans D. b) Montrer que tout élément de D possède un unique antécédent par f dans P . Exercice 3 [ 02027 ] [correction] a) Déterminer le lieu des points M d’affixe z qui sont alignés avec I d’affixe i et M d’affixe iz. b) Déterminer de plus le lieu des points M correspondant. Exercice 4 [ 02028 ] [correction] Calculer pour θ ∈ ]0, 2π[ et n ∈ N, n n

Module et argument
Exercice 7 [ 02030 ] [correction] Déterminer module et argument de z = 2+ √ 2+i 2− √ 2.

Exercice 8 [ 02031 ] [correction] Soient z ∈ C et z ∈ C. Montrer |z + z | = |z| + |z | ⇔ ∃λ ∈ R+ , z = λ.z

Exercice 9 Etablir :

[ 02032 ]

[correction] ∀z, z ∈ C, |z| + |z | |z + z | + |z − z |

Interprétation géométrique et précision du cas d’égalité ?

Exercice 10 [ 02033 ] [correction] Déterminer module et argument de eiθ + 1 et de eiθ − 1 pour θ ∈ R.

Exercice 11 [ 02034 ] [correction] iθ Simplifier eiθ −1 pour θ ∈ ]−π, π[. e +1 sin(kθ) Exercice 12 [ 02035 ] [correction] Déterminer module et argument de ei.θ + ei.θ pour θ, θ ∈ R. n Cn = k=0 cos(kθ) et Sn = k=0 Exercice 5

[ 02029 ]

[correction] n Calculer pour θ ∈ R et n ∈ N, Cn = k=0 n k

cos(kθ) et Sn = k=0 n k

sin(kθ).

Exercice 13 Centrale MP Soient a, b ∈ C. Montrer

[ 02356 ]

[correction] |a + b| + |a − b|

Exercice 6 [ 03458 ] [correction] Soient z0 ∈ C et r > 0 tels que |z0 | = r. On note C le cercle dans C de centre z0 et de rayon r. a) Pour z ∈ C, montrer z ∈ C ⇔ |z| − z0 z − z0 z + |z0 | = r2 ¯ ¯ b) En déduire que l’image de C par l’application f : z → 1/z est un cercle dont on précisera centre et rayon en fonction de z0 et r.