Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats

3 points

1. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : 2x + y − 3z + 1 = 0. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n’appartient pas à (P). → − Un vecteur normal à (P) est n (2 ; 1 ; −3). H est le projeté orthogonal de A sur (P) si, et seulement si, −→ − → − AH est colinéaire à n . −→ − On a : AH(−1 ; −9 ; −6). Il est clair que les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. H n’est pas le projeté orthogonal de A sur (P) : la proposition 1 est fausse. 2. On considère l’équation différentielle (E) : y ′ = 2 − 2y. Cette équation s’écrit : y ′ = −2y + 2 qui d’après le cours, a pour solutions : u(x) = ke−2x + 1, k ∈ R. La condition u(0) = 0 donne k + 1 = 0 donc k = −1. Par conséquent : u(x) = −e−2x + 1 = 1 − e−2x . 1 1 1 ln 2 = 1 − e− ln 2 = 1 − eln 2 = 1 − = donc la proposition 2 est vraie. Alors : u 2 2 2 3. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 2 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = Effectuons une démonstration par récurrence. Soit Pn la proposition : « 0 u n 7 » • (initialisation) u 0 = 2 donc 0 u0 7. P0 est vraie. 7u n .

On a montré que la par récurrence que la proposition est vraie pour tout n, donc la proposition 3 est vraie.

• (Hérédité ) Supposons Pn vraie pour un rang n. Alors : 0 u n 7. En multipliant par 7, on obtient : 0 7u n 79. Comme la fonction racine carré 7u n 49 = 7 donc la proposiest croissante sur son ensemble de définition, on en déduit : 0 tion est vraie au rang n + 1.

Baccalauréat S

E XERCICE 2 Pour les candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématiques

5 points

1.

a. r est la rotation de centre O et d’angle

2π . Une écriture complexe d’une rotation de centre Ω(ω) 3
2π 2π 5π π

b. B a pour affixe z B = e−i 6 et C est l’image de B par r. On en déduit : zC = ei 3 × e−i 6 = e−i 6 . zC = e−i 6 . π et d’angle