CHAPITRE

3

Fonction carré.
Problèmes
nd du 2 degré

ACTIVITÉS

(page 67)
Le trapèze AHNC est contenu dans le triangle AIC, donc aire(AHNC) р aire (AIC).
D’où aire(AMNP) р aire(AIB).
Figure 2 : M ∈ [KB].
C

Activité 1
2 Estimations à 0,01 m près :
• hauteur maximale atteinte h ≈ 4,10 m ;
• longueur du lancer ᐉ ≈ 14,18 m.

I

Activité 2
2 Conjectures : l’aire du triangle ABI semble supérieure ou égale à celle du rectangle AMNP.
L’égalité des aires semble obtenue lorsque M est au milieu de [AB] (x = 2).

3 Stratégies de preuve
• Géométrie : comparaison d’aires
Figure 1 : M ∈ [AK] où K est le milieu de [AB].
C

P

N
I
H

A

M

K

B

Le rectangle AMNP a même aire que le trapèze AHNC et le triangle AIC même aire que le triangle ABI.

30

P

A

H

N

K

M

B

Par un raisonnement analogue : aire (AHNB) р aire(ABI) donc aire (AMNP) р aire(ABI).
Dans tous les cas, aire (AMNP) р aire(ABI) et l’égalité a lieu lorsque M est en K milieu de [AB].
• Analyse : utilisation d’une fonction
On pose AM = x avec 0 р x р 4, d’où MN = MB = 4 – x. aire(AMNP) = x(4 – x) et aire(ABI) = 4 cm2.
Posons f (x) = x(4 – x) pour x ∈ [0 ; 4].
Sur la calculatrice, on conjecture pour f un maximum de 4 obtenu pour x = 2.
4 – f (x) = 4 – x(4 – x) = 4 – 4x + x2 = (2 – x)2.
Ainsi, pour tout x, 4 – f (x) у 0 donc f (x) р 4 et la valeur 4 est obtenue lorsque x = 2 .
On conclut : aire(AMNP) р aire(ABI).
L’égalité a lieu lorsque x = 2, c'est-à-dire lorsque M est au milieu de [AB].

PROBLÈME OUVERT
Les dimensions des côtés de l’angle droit de chacune des équerres sont notées x et 10 – x (0 р x р 10).
Piste 1 : aire k = aire (grand carré) – 4 aire(équerre)
5
aire k = 100 – 2x(10 – x)
5
aire k = 2x2 – 20x + 100.
5
• Penser à tabuler pour conjecturer numériquement la valeur de x qui minimise l’aire k.
5
• Penser à examiner la courbe de la fonction représentant l’aire k pour conjecturer son minimum.
5
• Prouver