Correction crpe groupe 42007

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Groupe 4 2007

|Mathématiques |

Exercice 1 :

1) Les diviseurs de 6 sont : 1, 2, 3 (6 étant lui-même)
Or 1+2+3= 6 donc 6 est nombre parfait.
Les diviseurs de 496 sont 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248
Or 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 donc 496 est un nombre parfait.

2) Les diviseurs de 120 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 30, 40, 60
Or60+40+30+20 = 150 >120 donc 120 n’est pas un nombre parfait

3)
A)
- Pour n=1 on a 2n+1-1= 2²-1=3 qui est un nombre premier.
Donc 21(2²-1)=6. Or 6 est un nombre parfait (q°1)
- Pour n=2 on a 2n+1-1= 23 -1= 7 qui est un nombre premier donc 2²(23-1) = 28 qui est un nombre parfait comme indiqué dans l’énoncé.
- Pour n=3 on a 2n+1-1= 24-1= 15 Or 15 n’est pas un nombre premier (il estdivisible par 3) donc 23(24-1) = 120 n’est pas parfait (q°2)
- Pour n=4 on a 2n+1-1= 25-1=31 qui est un nombre premier. Donc 25(24-1)=496 qui est bien en nombre parfait d’après la question 1.

B)
N= 2n(2n+1-1) est croissante, donc pour trouver le plus petit entier parfait pair supérieur à 496 il suffit de trouver le plus petit entier n supérieur à 4 pour lequel (2n+1-1) est un nombre entier.-Pour n=5 on a 26 – 1 = 63 or 63 n’est pas un nombre premier (divisible par 7) donc dans ce cas N=25(26 – 1) n’est pas parfait.
- Pour n=6 on 27 – 1=127 qui est un nbre premier (d’après la liste donnée) donc dans ce cas N est parfait. On obtient N= 26 (27 – 1) = 8128 qui est parfait. C’est le plus petit nombre parfait pair supérieur à 496.

Exercice 2 :

1) Figure

2)

A)ABCD est un carré et 0 centre de ce carré d’après l’énoncé. Dc 0 milieu de BD donc AO est une médiane du triangle ABD. I milieu de AB donc DI médiane de ABD. E est l’intersection des deux médianes c’est le centre de gravité du triangle ABD. On sait que le centre de gravité d’un triangle est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet, donc AE/AO=2/3.
Or AO=AC/2 donc AE /AC/2=2/3 soit2AE/AC=2/3 d’où AE/AC=1/3.
B)
ABCD est un carré de coté 9cm, ses diagonales ont pour longueur 9√2, dc AC= 9√2 cm.
En utilisant l’égalité de la question 1a) on obtient AE=AC/3 donc AE= 3√2 cm
C)
On sait que EH perpendiculaire à AE donc AEH est un triangle rectangle en E. Démontrons que de plus AEH est un triangle isocèle en E.
BAC est un triangle rectangle isocèle en B. donc BÂC =45°, HÂE = 45° ordans le triangle AHE on a
AHE= 180° - (AÊH+EÂH)
A^HE= 45°
Donc HÂE = A^HE et le triangle AEH est rectangle et isocèle de sommet E donc EH=AE d’où EH=3√2.
D)
Le symétrique de E par rapport à (DB) est F. Le symétrique de H et G. Or la symétrie axiale conserve les longueurs donc FG=EH=3√2.
Le symétrique de A est C dc FC=AE=3√2 cm.

3)
A)
Les triangles rectangles isocèles AEH’, G’FC,CFG, et AEH sont isométrique et ils ont une aire égale à la moitié de l’aire des carrés EFGH et EFG’H’.
Les triangles Dh’G’ et BHG sont également superposables et ils ont une aire égale à la moitié de l’aire du triangle AEH.
Or Aire (ABCD) = 2 Aire (EFGH) + 4 Aire (AEH)+ 2 Aire (BHG)
Dc Aire (ABCD) = 2 Aire (EFGH) + 2 Aire (EFGH) + Aire (EFGH)/2
Dc Aire (ABCD° = 4,5 Aire (EFGH)
On ne peut dc paspaver le carré ABCD avec le carré EFGH.
B)
Le carré EFGH est pavé par 4 triangles isométriques à GHK.
Les triangles DG’H4, EFK, FKG, KGH, HGB sont superposables. De plus le triangle EGH peut être pavé avec deux triangles GHK.
Les triangles AEH’, G’FC, CFG et EAH sont superposables et on peut les paver avec deux triangles GHK.
Ainsi le carré ABCD peut-etre pavé par 18 triangles GHK.Exercice 3 :

1)
A)
10l de vin à 75cts coûtent 750 cts.
5 l de vin à 60cts coûtent 300cts
Les 15l coûtent donc 750+300= 1050cts ce qui correspond bien à 70cts le litres.
B)
Pour 15l il y a 10l à 75cts et 5l à 60cts il y a donc 10/15=2/3 de vin à 75cts et le 5/15=1/3 à 60cts le litre.

2) Proportion du mélange final :
6/20=3/10 de vin à 80cts et 14/20=7/10 de vin à 60cts.

3)
A)...
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