Correction du dm ch 7 : proba - conditionnement et indépendance

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Correction du DM Ch 7 : Proba - conditionnement et indépendance

Exercice 1 (4,5 points)
Un sondage effectué récemment dans une région montagneuse à propos de la construction d’un barrage donne les résultats suivants :
. 65 % des personnes interrogées sont contre la construction de ce barrage.
. Parmi les personnes qui sont contre cette construction, 70 % sont des écologistes.
. Parmi lespersonnes favorables à la construction, 20 % sont des écologistes.
On note C l’événement « la personne interrogée est contre la construction » et l’événement contraire.
On note E l’événement « la personne interrogée est écologiste ».
On note F l’événement « la personne interrogée est contre la construction et n’est pas écologiste ».
1) Déterminer les probabilités p(C), pC(E), p (E). (0,75pt)
On peut schématiser la situation par un arbre des probabilités :
0,7 E
C
0,65 0,3


0,35 0,2 E0,8

On en déduit que p(C) = 0,65 ; pC(E) = 0,7 ; p (E) = 0,2.
2) a) Calculer la probabilité qu’une personne interrogée soit contre la construction du barrage et soit écologiste. (0,5 pt)
On recherche p(C E) = p(C) pC(E) = 0,65 0,7 = 0,455.
b) Calculer la probabilité qu’unepersonne interrogée soit pour cette construction et soit écologiste. (0,5 pt)
On recherche p( E) = p( ) pC(E) = 0,35 0,2 = 0,07
c) En déduire la probabilité qu’une personne interrogée soit écologiste. (0,75 pt)
On recherche p(E) = p(C E) + p( E) d’après la formule des probabilités totales
= 0,455 + 0,07
= 0,525
3) a)Montrer que la probabilité de F est égale à 0,195. (0,5 pt)
Par définition de F, on a : F = C d’où p(F) = p(C )
= p(C) pC( )
= 0,65 0,3
= 0,195
b) Onchoisit au hasard cinq personnes parmi celles qui ont été interrogées lors du
sondage.
Qu’elle est la probabilité qu’il y en ait au moins une qui soit contre la
construction du barrage et ne soit pas écologiste ? (On suppose que les choix
des cinq personnes sont indépendants les uns des autres). (1,5 pt)
On introduit la variable aléatoireX correspondant au nombre de personne(s), parmi les cinq choisies au hasard, contre la construction du barrage et qui ne soit pas écologiste.
Les valeurs possibles de X sont : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}.
On s’intéresse à l’événement : X 1. L’événement contraire est X = 0.
On cherche donc p(X 1) = 1 – p(X = 0)
L’événement X = 0 revient à répéter cinq fois de suite et de façon indépendantel’événement d’où p(X = 0) = p( ) 5 = (1 – 0,195) 5 = 0,8055 0,338.
Donc la probabilité qu’au moins une personne soit contre la construction du barrage et non écologiste est environ égale à : 1 – 0,338 = 0,662

Exercice 2 (3,5 points)
Soit A et B deux événements de probabilité non nulle.
1) Démontrer la relation : PB(A) = . (1,5 pt)
L’événement A peut s’écrire : A = (A B) (A ) avec (A B) et (A )disjoints.
On en déduit que P(A) = P((A B) (A ))
D’où P(A) = P(A B) + P(A ) ; on retrouve la formule des probabilités totales.
Avec les probabilités conditionnelles on en déduit que :
P(A) = P(B) PB(A) + P( ) P (A)
D’où : P(A) – P( ) P (A) = P(B) PB(A) ou bien = PB(A).
2) Une population peut être atteinte par deux maladies A et B.
Une étude statistique a révélé que :
. la...
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