Correction livre math terminale s nathan chapitre 1

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Chapitre 1

Rappels sur les suites Récurrence
Corrigés des exercices

pour progresser (page 18)
Généralités sur les suites
1 v1 = 2 et v2 = 5 .
vn + 2 = 3 vn + 1 – 1 = 3(3 vn – 1) = 9 vn – 4 . n+1 n–3 2 un + 1 = -------------------------- ; un + 2 = ----------------------------- ; 2 2 n + 2n + 5 n – 6n + 13 n u2n = ----------------- . 2n 2 + 2
Note : Dans les exercices 3 à 5, on appliquel’une des trois méthodes décrites page 15.

1 - 1b) un + 1 – un = ------------------ – ---- < 0 : (un ) est décroissante. ( n + 1 )2 n2 u n + 1 ( n + 1 ) 2 n! ) 9 a) un > 0 et ----------- = ------------------- × ---- = ( n +2 1 - ; ---------------2 un ( n + 1 )! n n si g(x) = x – x – 1 ; g′(x) = 2 x – 1, donc n 2 > n + 1 dès que n n 1 et (un) est croissante.
2

(– 1)b) un + 1 – un =-------------- , donc pas de monotonie. n+1

n

10 Corrigé dans le manuel. 11 a) u0 = 8 ; u1 = 8 et un = 8 pour tout n, donc (un ) est constante.
7 3 b) u0 = 2 , u1 = -- d’où u1 – u0 = -- ; 2 2 3 un + 1 – un = -- (un – un – 1) ; 4 (un + 1 – un) est une suite géométrique de premier terme 3 -- et de raison 3 . Donc un -2 4 croissante.
+ 1

n n+1 3 a) Pour n > 0, ----------- =  -----------  < 1 :(un ) est dé n + 1 un u croissante. b) un + 1 – un = sante. 3n + 4 – 3n + 1 > 0 : (un) est crois-

2

2x – 1 9 c) un = f (n) avec f (x) = -------------- ; f ′(x) = ------------------ > 0 . x+4 ( x + 4 )2 f est croissante, donc (un) est croissante.

4 Corrigé dans le manuel. 5 a) un + 1 – un = – 3 < 0 : (un) est décroissante.
b) ( u n ) change de signe à chaque indice, donc pas demonotonie. un + 1 c) Tous les termes de la suite sont positifs, et ----------- = 2 > 1 : un (un) est croissante.

– un > 0 et (un ) est

12 Oui, car pour tout n :
(un + 1 + vn + 1) – (un + vn ) = (un + 1 – un ) + (vn + 1 – vn) n 0 .

13 • (un ) est décroissante, (vn ) est croissante.
n–1 • un + vn = ----------- ; (un + vn ) est décroissante pour n n 2 . n2 1• un vn = – ---- ; (un vn ) estcroissante. n3 11 14 vn = ----------- + … + ----- , d’où : n+1 2n 1 11 1 vn + 1 – vn =  ----------- + … + --------------  –  ----------- + … + -----  n + 2 2n + 2  n + 1 2n 1 1 1 1 = -------------- + -------------- – ----------- = ---------------------------------------- > 0 ; 2n + 1 2n + 2 n + 1 ( 2n + 1 ) ( 2n + 2 ) (vn) est croissante.

6 a) un + 1 – un = – 3 < 0 : (un) est décroissante.
x+11 b) un = f (n) avec f (x) = ----------- ; f ′(x) = ------------------ . x+2 ( x + 2 )2 f est croissante, donc (un ) est croissante. un + 1 7 a) un > 0 et ----------- = 2 > 1 : (un ) est croissante. un b) u n change de signe à chaque indice, donc pas de monotonie.
n+1 8 a) un > 0 et ----------- = n + 1 > 1 : (un ) est croissante.

u

un

10

Suites arithmétiques Suites géométriques
★ ★1 – ( – 5 )7 Alors S = 0,02  ----------------------- = 260,42 .  1 – ( – 5 )-

15 Puisque le triangle est un rectangle, la mesure la plus
grande est 90 en degrés. Si on note r la raison de la suite arithmétique, les autres mesures sont 90 – r et 90 – 2r . Comme (90 – r) + (90 – 2r) = 90 , il vient 3r = 90 , soit r = 30 et les mesures sont 30, 60 et 90 .

26 1. a = 2 +
= (2 – = (2 –3 et b = 2 –

3 . 3 )un+1 3 )un ]

2. vn + 1 = un+2 – (2 + 3 )vn .

3 )un+1 = (4un+1 – un) – (2 + 3 )[un + 1 – (2 +

3 )un + 1 – un = (2 –



16 • Par récurrence, vn > 0 .
1 + vn 1 1• un + 1 = ----------- = ------------- = ---- + 1 = un + 1 ; (un ) est une vn vn + 1 vn suite arithmétique de raison 1 . un + 1 17 Comme ----------- = 2 , (un ) est une suite géométri-un 3 2 1 2 n - quede raison -- . On peut aussi écrire un = --  -- . 3 3  3

(vn ) est géométrique de raison 2 – 3 et de premier terme v0 = – 2 3 . 3. De même, (w 0 ) est géométrique de raison 2 + 3 et de premier terme w0 = 2 3 . 4. vn = – 2 3 (2 – De 3 )n et wn = 2 3 (2 + 3 )n . vn = un + 1 – aun wn = un + 1 – bun

, on déduit vn – wn = (b – a)un ,

et, en définitive : 1 un = ----------- (vn – wn ) b–a...
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