Chapitre 1

Rappels sur les suites Récurrence
Corrigés des exercices

pour progresser (page 18)
Généralités sur les suites
1 v1 = 2 et v2 = 5 . vn + 2 = 3 vn + 1 – 1 = 3(3 vn – 1) = 9 vn – 4 . n+1 n–3 2 un + 1 = -------------------------- ; un + 2 = ----------------------------- ; 2 2 n + 2n + 5 n – 6n + 13 n u2n = ----------------- . 2n 2 + 2
Note : Dans les exercices 3 à 5, on applique l’une des trois méthodes décrites page 15.

1 - 1b) un + 1 – un = ------------------ – ---- < 0 : (un ) est décroissante. ( n + 1 )2 n2 u n + 1 ( n + 1 ) 2 n! ) 9 a) un > 0 et ----------- = ------------------- × ---- = ( n +2 1 - ; ---------------2 un ( n + 1 )! n n si g(x) = x – x – 1 ; g′(x) = 2 x – 1, donc n 2 > n + 1 dès que n n 1 et (un) est croissante.
2

(– 1)b) un + 1 – un = -------------- , donc pas de monotonie. n+1

n

10 Corrigé dans le manuel. 11 a) u0 = 8 ; u1 = 8 et un = 8 pour tout n, donc (un ) est constante.
7 3 b) u0 = 2 , u1 = -- d’où u1 – u0 = -- ; 2 2 3 un + 1 – un = -- (un – un – 1) ; 4 (un + 1 – un) est une suite géométrique de premier terme 3 -- et de raison 3 . Donc un -2 4 croissante.
+ 1

n n+1 3 a) Pour n > 0, ----------- =  -----------  < 1 : (un ) est dé n + 1 un u croissante. b) un + 1 – un = sante. 3n + 4 – 3n + 1 > 0 : (un) est crois-

2

2x – 1 9 c) un = f (n) avec f (x) = -------------- ; f ′(x) = ------------------ > 0 . x+4 ( x + 4 )2 f est croissante, donc (un) est croissante.

4 Corrigé dans le manuel. 5 a) un + 1 – un = – 3 < 0 : (un) est décroissante.
b) ( u n ) change de signe à chaque indice, donc pas de monotonie. un + 1 c) Tous les termes de la suite sont positifs, et ----------- = 2 > 1 : un (un) est croissante.

– un > 0 et (un ) est

12 Oui, car pour tout n :
(un + 1 + vn + 1) – (un + vn ) = (un + 1 – un ) + (vn + 1 – vn) n 0 .

13 • (un ) est décroissante, (vn ) est croissante. n–1 • un + vn = ----------- ; (un + vn ) est décroissante pour n n 2 . n2 1• un vn = – ---- ; (un vn ) est