Correction maths s bac 2010

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ELEMENTS DE CORRECTION DE L’EPREUVE DE MATHEMATIQUES (SERIE S)
Exercice 1 :
Partie A 1) u est dérivable sur IR comme produit de fonctions dérivables, et pour tout réel x : u’(x) = e-x – x e-x. Donc pour tout réel x : u’(x) + u(x) = e-x. u est donc bien solution de (E). 2) Les solutions de (E’) sont de la forme : y(x) = C e-x , où C est un réel fixé. 3) v est solution de (E) si et seulement sipour tout réel x v’(x) + v(x) = e-x, ce qui équivaut à : pour tout réel x v’(x) + v(x) = u’(x) + u(x), ce qui équivaut à : pour tout réel x (v – u)’(x) + (v – u)(x) = 0, ce qui équivaut à : v – u est solution de (E’). 4) De ce qui précède, on déduit que les solutions de (E) sont les fonctions de la forme : v(x) = Ce-x + xe-x, où C est un réel fixé. 5) g est solution de (E) donc il existe un réel Ctel que pour tout x : g(x) = Ce-x + xe-x. Comme g(0) = 2, on en déduit que C = 2. Partie B 1) Pour tout réel k la fonction fk est dérivable sur IR comme produit de fonctions dérivables, et pour tout réel x : fk’(x) = (1 – (x + k)) e-x . Pour tout réel x : e-x > 0, donc fk’(x) est du signe de (1 – x – k ) à savoir positif sur ]-∞ ; 1 – k], négatif sinon. Du lien entre le signe de la dérivée et lesvariations de la fonction, on déduit que la fonction fk admet un maximum pour x = 1 – k. 2) Mk est le point de Bk d’abscisse 1 – k donc son ordonnée est fk(1 – k) = ek – 1 = e-(1 – k). Il est donc bien sur n. 3) a) Par composition, la fonction représentée par n est décroissante, alors que fk n’est pas monotone, les courbes sont donc faciles à identifier. b) n passe par le point de coordonnées (0 ;1). On en déduit que l’unité graphique en ordonnée est 2cm. Comme fk(0) = k, on « lit » k =2. f2(x) = 0 si et seulement si x = -2, donc la courbe B2 passe par le point de coordonnées (-2 ; 0). On en déduit que l’unité graphique en abscisse est également 2cm. Remarque : on retrouve, comme par hasard, la fonction g de la partie A ! 4) En dérivant le polynôme, et intégrant l’exponentielle, on trouve:

I =  − ( x + 2 ) e − x  − ∫ −e − x dx = −4e −2 + 2 +  −e − x  = 3 − 5e −2  0 0  0 La fonction fk étant positive sur [0 ; 2], on a ainsi calculé l’aire (en unités d’aire) délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Bk et les droites d’équations x = 0 et x = 2.
2 2 2

Exercice 2 :
1) Soient (un) et (vn) des suites adjacentes, avec (un) croissante et (vn) décroissante. De lapremière propriété, on déduit que (un) est majorée par v0 et que (vn) est minorée par u0. De la deuxième propriété, on déduit que les suites (un) et (vn) convergent respectivement vers des réels U et V. Comme leur différence des deux suites converge vers 0, U = V. 2) a) Les deux suites sont adjacentes, car : (un) est croissante (pour tout entier n : un+1 – un = 0,9 ×10-n), (vn) décroissante, (pour toutentier n : vn+1 – vn = -0,9 ×10-n), pour tout entier n : un ≤ vn vn – un = 2 × 10-n qui converge bien vers 0. Ces suites ont donc la même limite qui est 1, par propriété des suites géométriques. b) (un) et (vn) ont pour limite +∞. Elles ne peuvent de ce fait pas être adjacentes. c) (un) et (vn) ont pour limite 1 (par des propriétés usuelles sur les limites), mais elles ne sont pas adjacentes, lasuite (vn) n’étant pas monotone. 3) (un) est croissante, (vn) décroissante (par des propriétés usuelles sur les variations de fonctions). La suite (un) converge vers 1. Si a = 0, la suite (vn) converge vers -∞, sinon elle converge vers ln(a) (par des propriétés usuelles sur les limites). Pour que les suites soient adjacentes, il faut que a = e. Réciproquement, lorsque a = e, les suites vérifientbien la définition de suites adjacentes.

Exercice 3 :
 7   3     2   1  = 21 ; 1) 40 10  3   2) Comme la boule est remise après chaque tirage, les tirages sont indépendants. Il ne faut pas oublier que l’ordre de tirage n’est pas pris en compte. La probabilité demandée est donc : 3 2  5 3   7        2   10   10 
3) Si on note N l’événement la boule tirée...
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