ELEMENTS DE CORRECTION DE L’EPREUVE DE MATHEMATIQUES (SERIE S)
Exercice 1 :
Partie A 1) u est dérivable sur IR comme produit de fonctions dérivables, et pour tout réel x : u’(x) = e-x – x e-x. Donc pour tout réel x : u’(x) + u(x) = e-x. u est donc bien solution de (E). 2) Les solutions de (E’) sont de la forme : y(x) = C e-x , où C est un réel fixé. 3) v est solution de (E) si et seulement si pour tout réel x v’(x) + v(x) = e-x, ce qui équivaut à : pour tout réel x v’(x) + v(x) = u’(x) + u(x), ce qui équivaut à : pour tout réel x (v – u)’(x) + (v – u)(x) = 0, ce qui équivaut à : v – u est solution de (E’). 4) De ce qui précède, on déduit que les solutions de (E) sont les fonctions de la forme : v(x) = Ce-x + xe-x, où C est un réel fixé. 5) g est solution de (E) donc il existe un réel C tel que pour tout x : g(x) = Ce-x + xe-x. Comme g(0) = 2, on en déduit que C = 2. Partie B 1) Pour tout réel k la fonction fk est dérivable sur IR comme produit de fonctions dérivables, et pour tout réel x : fk’(x) = (1 – (x + k)) e-x . Pour tout réel x : e-x > 0, donc fk’(x) est du signe de (1 – x – k ) à savoir positif sur ]-∞ ; 1 – k], négatif sinon. Du lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction, on déduit que la fonction fk admet un maximum pour x = 1 – k. 2) Mk est le point de Bk d’abscisse 1 – k donc son ordonnée est fk(1 – k) = ek – 1 = e-(1 – k). Il est donc bien sur n. 3) a) Par composition, la fonction représentée par n est décroissante, alors que fk n’est pas monotone, les courbes sont donc faciles à identifier. b) n passe par le point de coordonnées (0 ; 1). On en déduit que l’unité graphique en ordonnée est 2cm. Comme fk(0) = k, on « lit » k =2. f2(x) = 0 si et seulement si x = -2, donc la courbe B2 passe par le point de coordonnées (-2 ; 0). On en déduit que l’unité graphique en abscisse est également 2cm. Remarque : on retrouve, comme par hasard, la fonction g de la partie A ! 4) En dérivant le polynôme, et intégrant l’exponentielle, on trouve