Correction sujet BTS Partie A :
L’ensemble de solutions de l’inéquation /(x) ≤ 3,5 est 5,3 ;10 .

Partie B :

1. a. g est de la forme 5 − e donc sa dérivée est –u′e . u = −0,2x + 1 donc u = −0,2 donc g x = − −0,2 e 0,2 = 0,2e 0,2
b. La fonction exponentielle est positive sur R et 0,2 est positif donc g′ est positive sur R donc sur 1 ;10 .
2. Tableau de variations de g : x 1 10 g′(x) + g 4,63
2,77
3. a. Tableau de valeurs de g : x 1 2 3 4 5 6 8 10 g(x) 2,77 3,18 3,51 3,78 4 4,18 4,45 4,63
b.

4. La solution de l’équation / x = g(x) est environs 4,75.

Partie C :
1. Une méthode pour répondre à ce type de question est de dériver G pour voir si on retombe bien sur g.
On a G x = 5x + 5e où u = −0,2x + 1 Donc G x = 5 + 5u′e or u = −0,2
Donc G x = 5 + 5× −0,2 e 0,2 = 5 − e 0,2 = g(x) On a bien G = g sur 1
;10 donc G est une primitive de g sur 1 ;10 .
2. a. La valeur moyenne de g sur 1 ;10 est :
V =
10 1
− 1
1 9
1 9
50 + 5e − 5 − 5e0, =
45 + 5e 9 g x dx =
G 10 − G 1 =
− 5e0,
b. V ≈ 3,97

Partie D :
1. D’après la partie A on sait que / x ≤ 3,5 si x est compris entre 5,3 et 10.
On en déduit que la demande est inférieure ou égale à 3 500 tonnes pour un prix compris entre
53 et 100 euros la tonne.
2. a. D’après la question 4. de la partie B on sait que / x = g x si x = 4,75.
On en déduit que le prix d’équilibre est de 47,5 euros la tonne.
b. La demande correspondante est à lire sur le graphique ≈ 4 (c’est l’ordonnée du point d’abscisse 4,75)
On en déduit que la demande est de 4 000 tonnes pour le prix d’équilibre.