Exercice 1 Dans cet exercice , on se propose d’étudier dans la partie A une perturbation d’un signal continu et dans la partie B , la correction de cette perturbation par un filtre analogique . Partie A Dans cet exercice , on note  une constante réelle appartenant à l’intervalle [0; 2 ] et on considère les fonctions f et g , définies sur l’ensemble R des nombres réels , telles que :  Pour tout nombre réel t , f (t )  1  La fonction g est périodique de période 2 et :  g (t )  0 si 0  t     g (t )  1 si   t  2 Pour tout nombre réel t , on pose : h(t )  f (t )  g (t ) La fonction h ainsi définie représente la perturbation du signal . 1. les courbes représentatives des fonctions f et g sont tracées sur le document réponse n°1. ( figure 1 et 2 ). Sur la figure 3 du document réponse n°1, tracer la représentation graphique de la fonction h . 2. On admet que la fonction h est périodique de période 2 . Pour tout nombre réel t , on définit la série de Fourier S (t ) associée à la fonction h par

S (t )  a0    an cos  nt   bn sin  nt   n 1



a) Déterminer a0 . b) Soit n un entier supérieur ou égal à 1 Calculer

0 cos  nt  dt



1 sin  n  n c) Montrer que, pour tout nombre n entier supérieur ou égal à 1, 1 bn  1  cos  nt   . n 3. Soit n un entier supérieur .On associe à n le nombre réel A n tel que :
En déduire que an 
 A0  a0  An 
2 2 an  bn si n est un entier supérieur ou égal à 1 2

Montrer que, pour tout nombre n entier supérieur ou égal à 1, on a An  On suppose pour toute la suite de l’exercice , que τ =

1 1  cos  n  . n

π 4 4. Compléter le tableau 1 du document réponse n°2, avec des valeurs approchées à 105 près. 2 1 2 2 5. La valeur efficace heff de la fonction h est telle que : heff   h(t ) dt 2 0 2 a) Calculer heff .
b) Calculer une valeur approchée à 10 près du nombre réel P défini par P   A2 n
4
n 0 3

P c) Calculer une valeur approchée à 102 près du quotient . 2