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12 pages
SESSION 2012CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP
MATHEMATIQUES 1
EXERCICE 1 : normes équivalentes
1. Soit f ∈ E. f est de classe C1 sur [0, 1]. Donc la fonction |f ′ | est continue sur le segment [0, 1] et par suite la fonction |f ′ | est intégrable sur le segment [0, 1]. On en déduit que f existe dans R.
1
• Pour tout f ∈ E, f = |f(0)| + 2 • Soit f ∈ E.
0
|f ′ (t)| dt
0.
1
1
f = 0 ⇒ |f(0)| + 2
0
• Soient f ∈ E et λ ∈ R.
⇒ ∀t ∈ [0, 1], f(t) = f(0) = 0 ⇒ f = 0.
1
⇒ f(0) = 0 et ∀t ∈ [0, 1], |f ′ (t)| = 0 (fonction continue, positive, d’intégrale nulle) ⇒ f(0) = 0 et f est constante sur [0, 1]
|f ′ (t)| dt = 0 ⇒ |f(0)| =
|f ′ (t)| dt = 0
0
1
λf = |λf(0)| + 2
0
|λf ′ (t)| dt = |λ| |f(0)| + 2
0
|f ′ (t)| dt
= |λ| f .
• Soit (f, g) ∈ E2 .
1 1 1
f + g = |f(0) + g(0)| + 2
0
|f ′ (t) + g ′ (t)| dt
|f(0)| + |g(0)| + 2
0
|f ′ (t)| dt + 2
0
|g ′ (t)| dt = f + g .
On a montré que est une norme sur E.
2.
i) Soient N et N ′ deux normes sur un espace vectoriel E. N et N ′ sont équivalentes ⇔ ∃(α, β) ∈]0, +∞[2 / ∀f ∈ E, αN(f)
1 1
N ′ (f)
βN(f).
ii) Soit f ∈ E.
f = |f(0)| + 2
0
|f ′ (t)| dt
4|f(0)| + 2
0
|f ′ (t)| dt = 2 f ′ ,
et aussi
1 1
f Ainsi, ∀f ∈ E, 1 f 2 f
′
′
= 2|f(0)| +
0
|f ′ (t)| dt
2|f(0)| + 4
0
|f ′ (t)| dt = 2 f .
2 f
′
et donc et
′
sont des normes équivalentes. 1 c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés.
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1
3.
Pour f ∈ E, posons f
1
=
0
|f(t)| dt. Montrons que les normes = +∞. Posons S = sup
et
1
ne sont pas équivalentes. Pour cela
vérifions que sup
f , f ∈ E \ {0} f 1
f , f ∈ E \ {0} . f 1
Pour n ∈ N∗ et t ∈ [0, 1], posons fn (t) = tn . Pour tout n ∈ N∗ ,
1
fn et
1
1
=
0
tn dt =
1 , n+1
fn = 0 + 2
0
′ fn (t) dt = 2(fn (1) − fn (0)) = 2,
fn = 2(n + 1). Mais alors, pour tout entier naturel non