Corrigé de la partie Géométrie du devoir n° 6
Exercice 1
ABC triangle isocèle en C, donc le projeté orthogonal de C sur (AB) est I le milieu de [AB] et ⃗BA .⃗BC = ⃗BA.⃗BI
= BA×BI
= l× l2 = l2 2 car les vecteurs ⃗BA et ⃗BI sont colinéaires de même sens .
Le projeté orthogonal de C sur (BD) est I le milieu de [AB] et ⃗BD.⃗CB = ⃗BD.⃗IB
= BD×IB
= l× l 2
=
l2
2
car les vecteurs ⃗BD et ⃗IB sont colinéaires de même sens .
Le projeté orthogonal de E sur (BD) est D et ⃗BD.⃗BE = ⃗BD.⃗BD
= BD×BD
= l2
BFEC est un rectangle donc on a : ⃗BF =⃗CE
⃗BD.⃗BF = ⃗BD.⃗CE
= ⃗BD.⃗CB+⃗BD.⃗BE
= l2
2
+ l2
=
3l2
2
par linéarité, comme ⃗CE=C⃗B+⃗BE .
⃗BD.⃗CF = ⃗BD.⃗CB+⃗BD.⃗BF
= l2
2
+ 3 l2
2
= 2 l2
Pour déterminer une valeur approchée de ̂ABC , on utilise la formule suivante :
⃗BA .⃗BC =BA×BCcos(̂ABC)
Comme ⃗BA.⃗BC= l2
2
,BA=l et BC=2 l , on obtient cos(̂ABC)= l2 2
2 l2 =
1
4
On obtient ̂ABC≈76° ,à 1 degré près
̂DBF=180−90−̂ABC≈14° à 1 degré près
Pour déterminer une approximation en fonction de l de la longueur BF , on utilise la formule :
⃗BD.⃗BF=BD×BFcos(̂DBF)
Comme ⃗BD.⃗BF= 3l2
2 ,BD=l et ̂D
BF≈14 ° , on obtient BF l =
3 l2
2
l2 cos(̂BDF )
≈
3
2cos(14)
D'où BF≈1,55 l Autrement dit, BF est un peu plus de une fois et demi plus grand que le côté AB
Exercice 2
⃗AC(13
) et⃗AB( 6
−2)sont orthogonaux car ⃗AC.⃗AB=1×6+3×(−2)=0
Donc le triangle Abc est rectangle en A.
⃗DA a pour coordonnées (−3
1 ) et ⃗DC a pour coordonnées (−2
4 )
Donc ⃗DA .⃗DC =(−3)×(−2)+1×4=10
Tout point M(x ; y ) de (Δ1) est tel que ⃗AM .⃗BC =0
⃗AM a pour coordonnées (x+1 y−2) et ⃗BC a pour coordonnées (−5
5 )
Donc ⃗AM . ⃗BC =( x+1)×(−5)+( y−2)×5=−5 x−5+5 y−10=−5 x+5 y−15
M ∈(Δ1) ⇔ ⃗AM.⃗BC=0
⇔ −5 x+5 y−15=0
⇔ −x+ y−3=0
(Δ1) a pour équation −x+y−3=0 , soit sous forme d'équation réduite y=x+3
⃗AD=
1
2
⃗AB ,donc D est le milieu de [AB] et tout point M(x ; y ) de (Δ2) est tel que ⃗DM .⃗AB =0
⃗DM a pour coordonnées (x−2 y−1) et ⃗AB a pour