Corrig´ de la premi`re ´preuve de math´matiques e e e e Centrale 2009 - Fili`re MP e Par H. Maarouf CPGE Mohammedia

Partie I - Questions pr´liminaires e
I.1) La fonction Γ ´tant de classe C ∞ sur ]0, +∞[, donc continue sur [1, 2] et de classe C 1 sur ]1, 2[. En plus, e Γ(1) = Γ(2) = 1. Par le th´or`me de Rolle, il existe c ∈]1, 2[ tel que Γ (c) = 0. e e I.2) La fonction t → (ln t)2 tx−1 e−t est continue, int´grable et non identiquement nulle sur ]0, +∞[ donc pour tout e x strictement positif,
+∞

Γ (x) =
0

(ln t)2 tx−1 e−t > 0

En particulier la fonction Γ est strictement croissante sur ]0, +∞[ et on a Γ (c) = 0, donc Γ (x) > 0 sur [2, +∞[ car c < 2. En d’autres termes, Γ est strictement croissante sur cet intervalle. I.3) Soit γ un r´el strictement positif. On sait que γ n = ◦(n!). Puisque γ x+1 = O(γ [x]+1 ), γ x+1 = ◦(Γ([x])). e
+∞ +∞ +∞

D’une autre part, par croissance de Γ au voisinage de +∞, on a Γ([x]) = O(Γ(x)). Donc γ x+1 = ◦(Γ(x)) ou
+∞ +∞

encore γ x = ◦(Γ(x))
+∞

Partie II - Comportement asymptotique de la somme d’une s´rie enti`re e e au voisinage de la borne sup´rieure de son intervalle de convergence. e
II.A) Soit φ une fonction continue sur [0, +∞[ ` valeurs r´elles et int´grable. On suppose de plus que φ est d´croissante a e e e sur [t0 , +∞[ pour un certain t0 0. II.A.1) La fonction φ est d´croissante sur [t0 , +∞[ donc admet une limite l en +∞. Si l < 0, alors il existe A e t0 l A, ce qui est impossible car φ est int´grable sur e tel que φ(t) < 2 et donc −φ(t) > −l > 0 pour t 2 [A, +∞[ et t → −l est non int´grable sur [A, +∞[. Donc l e 0 et 2 ∀ t ∈ [t0 , +∞[; φ(t) x→+∞ lim φ(x) = inf φ(x) = l x t0

0

(En fait, on a l = 0 car f est int´grable et d´croissante sur [t0 , +∞[.) e e II.A.2) Soit h un r´el strictement positif. e
0 a) Soit N > th de sorte que pour tout n N , on ait nh Nh t0 . Fixons n t ∈ [(n − 1)h, nh], on a, par d´croissance de φ, 0 e φ(nh) φ(t). Donc

N + 1. Pour tout

nh

nh

0 nh hφ(nh)