e3a PSI B - 2009 Un corrig´ e Exercice 1.
1. D’apr`s le th´or`me du rang ker(A) est de dimension 4 − rg(A) = 1 et est donc une droite e e e vectorielle. En particulier, 0 est valeur propre de A. 2. Avec les hypoth`se sur la somme par ligne des coefficients de A, on peut affirmer que (1, 1, 1, 1) e est vecteur propre de A associ´ ` la valeur propre 1. ea 3. 0 et 1 sont valeurs propres (et donc de multiplicit´ au moins 1) et −1 est valeur propre double. e La somme des multiplicit´s des valeurs propres n’exc´dant pas 4 (dimension de l’espace), on a e e toutes les valeurs propres (racines de PA ). Comme PA est unitaire ((−1)4 = 1) on a ainsi PA = X(X − 1)(X + 1)2 4. Rk est de degr´ inf´rieur ` 3 et s’´crit ak X 3 + bk X 2 + ck X + dk . En notant Qk le quotient, on a e e a e k = P Q + R ; en appliquant cette ´galit´ ` 0, 1, −1 et en la d´rivant puis en faisant X = −1, X e ea e A k k  k   ak = 1+(3−2k)(−1)  dk = 0  4   k   ak + bk + ck + dk = 1 bk = 1+(−1) 2 on obtient (pour k ≥ 1) . ce qui donne  −ak + bk − ck + dk = (−1)k  c = 1+(2k−5)(−1)k     k 4  3ak − 2bk + ck = k(−1)k d =0 k 5. Comme P → P (A) est un morphisme d’alg`bre et comme PA annule A (th´or`me de Cayleye e e Hamilton) on en d´duit que e ∀k ≥ 1, Ak = Rk (A) = 1 + (3 − 2k)(−1)k 3 1 + (−1)k 2 1 + (2k − 5)(−1)k A + A + A 4 2 4

Exercice 2.
1. (a) Comme on peut passer ` la limite dans une ´galit´ large, ∀n, α ≤ xn ≤ β donne x ∈ [α, β]. a e e f ´tant continue (et mˆme deux fois d´rivable) sur cet ensemble, elle est continue en x. En e e e passant ` la limite dans f (xn ) = 0 (n → +∞) on obtient f (x) = 0. a (b) f ´tant de classe C 1 sur l’intervalle [xn , xn+1 ], l’´galit´ des accroissements finis donne l’exise e e tence de yn ∈]xn , xn+1 [ tel que f (xn+1 ) − f (xn ) = (xn+1 − xn )f (yn ) et donc f (yn ) = 0. (c) (xn ) et (xn+1 ) ´tant convergentes de limite x, on a yn → x par th´or`me d’encadrement. e e e Par continuit´ de f en x et comme ∀n, f (yn ) = 0, on obtient f (x) = 0 en faisant