Chapitre 2

Chapitre 2.
Limites de fonctions
Activités et applications

Application 2

1. Limites d’une fonction à l’infini
Activité. Au voisinage de + ∞
1. f(102) = 1,000 1 ; f(106) = 1 + 10–12 = 1,000 000 000 001 ; f(108) = 1 + 10–16 ; f(1010) = 1 + 10–20.
2. f(x) est aussi proche que l’on veut de 1 dès que x est assez grand (voisin de + ∞).

lim f(x) = – ∞ ; lim f(x) = + ∞ ;

x → –∞

x → +∞

lim – f(x) = + ∞ ; lim+ f(x) = – ∞.

x→1

Application 1

x→1

1.

3. Limites et asymptotes parallèles aux axes
Activité. Une fonction homographique
1. a) À l’aide d’une calculatrice, on obtient :

D’après la représentation graphique, il semble que lim P(x) = + ∞ et lim P(x) = – ∞. x → –∞

f(100) ≈ 0,990 2 à 10–4 près ; f(10 000) ≈ 0,999 9 à 10–4 près ; f(106) ≈ 1 à 10–4 près ; f(5 × 108) ≈ 1 à 10–4 près.

x → +∞

2. En utilisant une calculatrice, on obtient :
P(105) ≈ –9 × 1014 ; P(1010) ≈ –1 × 1030 ; P(1030) ≈ –1 × 1090 ;
P(–105) ≈ 9,9 × 1014 ; P(–1010) ≈ 1 × 1030 ; P(–1030) ≈ 1 × 1090.

b)

Application 2
D’après la représentation graphique, lim f(x) = + ∞ et x → –∞ lim f(x) = – ∞. x → +∞

c) Pour x = 10, on ne distingue plus la courbe de f de la

2. Limite infinie d’une fonction en un point

droite d’équation y = 1.

2. a) À l’aide d’une calculatrice, on obtient : f(– 1,99) = – 99 ; f(– 1,999 9) = – 9 999 ; f(– 2 + 5 × 10–8) ≈ – 2 × 107.
b) Ᏸ a pour équation x = – 2.

Activité. Au voisinage de zéro
1. f(10–2) = 1 + 104 = 10 001 ; f(10–6) = 1 + 106 = 1 000 001 ; f(10–8) = 1 + 1016 ; f(10–10) = 1 + 1020.
2. f(x) est aussi grand que l’on veut (voisin de + ∞), dès que x est assez proche de 0.

Application 1
1. Il semble que lim f(x) = 3. x → +∞

2. Si lim f(x) = 3, alors la courbe de f admet pour x → +∞

Application 1

asymptote la droite d’équation y = 3.

1.

Application 2
1. Comme lim + f(x) = – ∞, Ꮿ admet la droite d’équation x → 1–
3

1 x = pour asymptote.
3
Comme lim f(x) = 5, Ꮿ admet la droite d’équation y = 5

2. D’après le graphique, lim R(x) = – ∞ ; x → –∞

x → +∞