Chapitre 9

Chapitre 9.
Lois à densité
Activités et applications

2. Loi exponentielle
Activité. Ajuster une courbe pour calculer des probabilités

1. Loi uniforme
Activité. Une simulation
1.

1. La fréquence est 103 = 0,103.
1 000

Ύ2 000

3 000

f(x) dx.

2. y

2. Sur l’ordinateur.
3. Il faut entrer la formule,
=NB.SI(A2:A1001;''<0,2'')–NB.SI(A2:A1001;''<0,1'') .

4.

x

X < 0,1 0,1 < X < 0,2 0,1 < X < 0,4 X > 0,6
10 %

Intuition

Fréquence trouvée 0,103 par la simulation 10 %

30 %

0

40 % y 0,09

0,31

0,397 x 0

Application 1
1.

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000

Application

1

p(X > 1) = 1 – p(X < 1) = Ύ 3e–3x dx
1
0

0

1

2

= 1 – ΄– e–3x΅10 = e–3 ≈ 0,05.

3

2. La partie grise correspond à la probabilité de l’événe-

3. Espérance et variance des lois uniformes et exponentielles

1 ment p(2 < X), graphiquement cette probabilité est .
2

Activité. Une simulation
A. 1. L’espérance de la variable aléatoire

Application 2
1. La formule entrée et étendue à 2 000 cellules réparties

E(X) = np = 10 × 0,3 = 3.
L’écart type est σ(X) = 9np(1 – p) = 010 × 0,3 × 0,7 ≈ 1,5.
2. La moyenne qui va apparaître est proche de l’espérance soit environ 3. Ce que confirme l’expérimentation.

sur 2 colonnes par exemple est =ALEA()*60+120 .

2. Pour compter le nombre de valeurs supérieures à 160, il faut entrer la formule =NB.SI(A1:B1000;''>160'') .
La fréquence s’obtient en divisant ce nombre par 2 000.
Dans la simulation présentée ci-dessous, elle est égale à 0,34.

B. 1.
Simulation

ᐁ(3 ; 7)

ᐁ(0 ; 7)

ᐁ(– 3 ; 3)

Moyenne

5,011 420 05

3,632 1

– 0,012 12

Espérance estimée 5

3,5

0

2. On peut penser que l’espérance correspond au milieu des valeurs, soit

113

a+b
.
2

© NATHAN
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Chapitre 9
Application 1

5

Pour évaluer graphiquement, il suffit de compter le nombre de carrés coloriés et de diviser par le nombre de
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3 carrés sous la courbe. La probabilité est donc